Questão 5

IME 2020

Matemática

[IME - 2020/2021 - 2ª fase]

Determine o lugar geométrico dos pontos h do plano complexo $h = frac {4 + w + 2i}{2 - wi}$ em que $w in R$ e $i^2 = -1$ .

Gabarito:

Resolução:

Lugar geométrico dos pontos $h=frac{4+w+2i}{2-wi}$ , $win mathbb{R}$ e $i^2=-1$

$h= frac{(4+w+2i)}{2-wi}cdot frac{(2+wi)}{(2+wi)}=frac{8+2w+4i+4wi+w^2i+2wi^2}{2^2-(wi)^2}$

$h= frac{8+cancel{2w}+4i+4wi+w^2i-cancel{2w}}{4+w^2}=frac{8+4i+4wi+w^2i}{4+w^2}=frac{8+icdot (2+w)^2}{4+w^2}$

$h=underbrace{frac{8}{4+w^2}}$ $+underbrace{ frac{(2+w)^2}{4+w^2}cdot i}$

Parte real Parte imaginária

x y

$x=frac{8}{4+w^2} ightarrow w^2+4=frac{8}{x} ightarrow w^2=frac{8}{x}-4$ equação (1)

$y=frac{w^2+4+4w}{w^2+4} ightarrow y=1+ frac{4w}{w^2+4} ightarrow y-1=frac{4w}{w^2+4}$

$(y-1)^2=frac{16w^2}{(w^2+4)^2}$ equação (2)

Dubstituindo (1) em (2)

$(y-1)^2=frac{16cdot frac{8-4x}{x}}{(frac{8-4x}{x}+4)^2}$

$(y-1)^2=frac{16cdot frac{8-4x}{x}}{(frac{8-4x}{x}+frac{4x}{x})^2}$

$(y-1)^2=frac{16cdot frac{8-4x}{x}}{(frac{8-cancel{4x}+cancel{4x}}{x})^2}$

$(y-1)^2=frac{16cdot frac{8-4x}{x}}{(frac{8}{x})^2}$

$(y-1)^2=frac{16cdot frac{8-4x}{x}}{frac{64}{x^2}}$

$(y-1)^2=frac{cancel{16}cdot (8-4x)cdot x^2}{cancel{64}cdot x}$

$(y-1)^2=frac{cancel4cdot(2-1x)cdot x^{cancel2}}{cancel4 cancel{x}}$

$(y-1)^2=(2-1x)cdot x$

$(y-1)^2=2x-x^2$

$(y-1)^2=-x^2+2x -1+1$

$(y-1)^2=-(x^2-2x +1)+1$

$(y-1)^2=-(x-1)^2+1$

$(y-1)^2+(x-1)^2=1$

O lugar geométrico é uma circunferencia de centro $C(1,1)$ e raio $1$ .

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