Questão 13

IME 2020

Matemática

(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)

Seja a equação $2sen^{2}(e^{ heta })-4sqrt3sen(e^{ heta })cos(e^{ heta })-cos(2e^{ heta })=1, heta epsilon mathbb{R}^{+}.$ O menor valor de $heta$ que é raiz da equação é:

$ln(frac{pi}{6})$

$ln(frac{pi}{3})$

$ln(frac{5pi}{6})$

$ln(frac{pi}{12})$

$ln(frac{5pi}{12})$

Gabarito:

$ln(frac{5pi}{12})$

Resolução:

$2sen^{2}(e^{ heta })-4sqrt3sen(e^{ heta })cos(e^{ heta })-cos(2e^{ heta })=1, heta epsilon mathbb{R}^{+}.$

Chamando $e^{ heta} = alpha$

$2sen^{2}alpha-4sqrt3senalpha cosalpha-cos2alpha=1$

$2sen^{2}alpha-2sqrt3cdot 2senalpha cosalpha-cos2alpha=1$

$2senalpha cosalpha = sen2alpha$

$2sen^{2}alpha-1 = 2sqrt3cdot sen2alpha+cos2alpha$

$-cos2alpha = 2sqrt{3}sen2alpha + cos2alpha$

$2sqrt{3}sen2alpha = - 2cos2alpha$

$tg2alpha = -frac{1}{sqrt{3}} = -frac{sqrt{3}}{3}$

Como sabemos,

$tg 30^{circ} = frac{sqrt{3}}{3}$

então:

1) $tg2alpha = tg150^{circ}= tg(2kpi + frac{5pi}{6})$

2) $tg2alpha = tg330^{circ}= tg(2kpi + frac{11pi}{6})$

1) $2alpha = 2kpi + frac{5pi}{6} ightarrow alpha = kpi+frac{5pi}{12} = e^{ heta}$

2) $2alpha = 2kpi + frac{11pi}{6} ightarrow alpha = kpi+frac{11pi}{12} = e^{ heta}$

Logo,

$heta = ln(kpi+frac{5pi}{12})$

$heta = ln(kpi+frac{11pi}{12})$

Como queremos o menor valor, então é para

$k=0$

$heta = ln(kpi+frac{5pi}{12})$

Portanto:

$heta = ln(frac{5pi}{12})$

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