Questão 7

IME 2020

Matemática

(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)

Se $A$ é a área da região $R$ do plano cartesiano dada por

$R=left { (x,y) epsilon mathbb{R}^{2} | 2leq xleq 10 e 0leq yleq ln(x) ight }.$

então é correto afirmar que:

$Aleq ln(20^{4})$

$ln(ln(9!))leq ln(A)leq (2+ln(9!))$

$Ageq ln(10!)-ln(2)$

$frac{1}{9!}leq e^{-A}< 20^{-4}$

$ln(10)-ln(2)leq Aleq 10 ln(10)-2ln(2)-10$

Gabarito:

$ln(ln(9!))leq ln(A)leq (2+ln(9!))$

Resolução:

A região R pedida pelo enunciado é a região delimitada pela aŕea que está contida entre a função ln(x), o eixo das abscissas, a reta x=2 e a reta x=10, desenhadas no gráfico abaixo:

Nós podemos calcular aproximadamente a área pedida de considerarmos que ela é a soma de vários retângulos de largura 1 e altura ln(x), observe a imagem abaixo:

A soma das áreas desses retângulos é maior do que a área A relatada no enunciado, assim poderemos achar o limite superior da área de A, repare que todos os retângulos tem largura 1 e altura ln(x), portanto a área deles serão $a=1cdot;ln(x)=ln(x)$

portanto, a área A estimada, que é a soma das áreas de todos os retângulos é dada por:

$A<sum_{3}^{10}ln(x)=ln(3)+ln(4)+ln(5)+ln(6)+ln(7)+ln(8)+ln(9)+ln(10)$

Aplicando a propriedade de soma de logaritmos:

$A<sum_{3}^{10}ln(x)=ln(10!)-ln(2)$

$ln(10!)-ln(2)=ln(9!)+ln(10)-ln2=ln(9!)+ln(frac{10}{2})=ln(9!)+ln5$
sabendo que $ln5<2$ podemos reescrever de outra forma: *(LEIA A OBSERVAÇÃO NO FINAL DA RESOLUÇÃO)
$ln(9!)+ln5<ln(9!)+2$ , logo:

$A<ln(9!)+2$

Vamos agora achar o limite inferior, considerando retângulos de altura ln(x), porém desta forma:

Repare que com essa distribuição de retângulos, aplicando o mesmo principio de antes, a área da soma dos retângulos será menor do que a área A, portanto acharemos um limite inferior para o tamanho de A que será dado por:

$A>sum_{2}^{9}ln(x)=ln(2)+ln(3)+ln(4)+ln(5)+ln(6)+ln(7)+ln(8)+ln(9)$
$A>sum_{2}^{9}ln(x)=ln(9!)$

$A>ln(9!)$

assim, podemos fazer: *(LEIA A OBSERVAÇÃO NO FINAL DA RESOLUÇÃO)

$ln(A)>ln(ln(9!))$

com os limites superior e inferior, temos:
$A<ln(9!)+2$
$ln(A)>ln(ln(9!))$
$ln(ln(9!))<ln(A)<ln(9!)+2$

*OBS: Esse passo foi dado exclusivamente para que pudessemos chegar a alternativa que a questão oferecia, mas claro sempre sendo coerente com as regras matemáticas.

Letra B

Questão 7

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