Questão 8

IME 2020

Matemática

(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)

Seja $f:D ightarrow mathbb{R}$ uma função onde $D= left { x epsilon mathbb{R} | x eq0 e x eq1 ight }$ e que satisfaz a equação $f(frac{x-1}{x})+f(x)-x=2.$ O valor de $f(2)$ é:

5/4

1/4

1/2

7/2

Gabarito:

5/4

Resolução:

Para X = 2:

$f(frac{2-1}{2}) + f(2) - 2 = 2$

$f(frac{1}{2}) + f(2) = 4$ (Equação 1)

Para X = 1/2

$f(frac{1/2-1}{1/2}) + f(frac{1}{2}) - frac{1}{2} = 2$

$f({-1})+ f(frac{1}{2}) = frac{5}{2}$ (Equação 2)

Para X = -1

$f(frac{-1-1}{-1}) + f(-1) - (-1) = 2$

$f(2) + f(-1) = 1$ (Equação 3)

Fazendo Eq 1 - Eq 2:

$f(frac{1}{2}) + f(2) = 4$

- $f({-1})+ f(frac{1}{2}) = frac{5}{2}$

-----------------------------------

$f(2) - f(-1) = frac{3}{2}$ (Equação 4)

Fazendo Eq 3 + Eq 4:

$f(2) + f(-1) = 1$

+ $f(2) - f(-1) = frac{3}{2}$

-----------------------------------

$2f(2) = frac{5}{2}$

$f(2) = frac{5}{4}$

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