Questão 10
IME 2020
(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)
Seja a equação
Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:
pode-se construir um triângulo escaleno.
pode-se construir um triângulo isóceles.
pode-se construir um quadrilátero.
pode-se construir um pentágono.
não é possível construir qualquer polígono.
Gabarito:
não é possível construir qualquer polígono.
Resolução:
Considerando, 7x = y
y4 - 10y3 + 17y2 + 40y = 84
Usando o teorema das raízes racionais, podemos encontrar que -2, 2, 3 e 7 são raízes deste polinônio. Logo,
xi = log7(2) ; xii = log7(3) ; xiii = 1.
Utilizando conceitos de desenho geométrico, para que haja algum poligono criado por essas 3 retas, as circuferências
x2 + y2 = (log7(2))2 e (x - 1)2 + y2 = (log7(3))2
devem se encontrar. Porém, como isso não ocorre, não há poligno que possa ser construído, pois
log7(2) + log7(3) < 1
log7(6) < log7(7)
Alternativa A.