Questão 4

IME 2020

Matemática

(IME - 2020/2021 - 1ª FASE)

Sejam $z_{1}$ e $z_{2}$ dois números complexos tais que $left | z_{1} ight |=4$ , $left | z_{2} ight |=3$ e $left | z_{1}+z_{2} ight |=6$ . O valor de $left | z_{1}-z_{2} ight |$ é:

$sqrt7$

$frac{sqrt3}{3}$

$sqrt{14}$

$2sqrt3$

Gabarito:

$sqrt{14}$

Resolução:

|z₁| = 4, |z₂| = 3 e |z₁ + z₂| = 6.

Um complexo w = x + iy é um vetor partindo da origem ao ponto (x,y) no plano complexo:

Logo, suponha algum z₁ e z₂:

A figura anterior foi só para ilustrar. Veja que ao transportar o vetor z₁-z₂ para cima encontramos:

Veja que esses vetores formam um triângulo:

note que 2θ + 2β = 360º (soma dos ânuglo internos do paralelogramo). β = 180º - θ

Lei dos cossenos no segundo triângulo:

$|z_{1}+z_{2}| = |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-2|z_{1}||z_{2}|coseta$

$36 = 16 + 9 - 2cdot 4cdot 3cdot coseta$

$coseta = -frac{11}{24}$

como θ = 180º - β, então

$cos heta = -coseta = frac{11}{24}$

Lei dos cossenos no primeiro triângulo:

$|z_{1}-z_{2}| = |z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-2|z_{1}||z_{2}|cos heta$

$|z_{1}-z_{2}| = 25-24cos heta$

$|z_{1}-z_{2}| = 25-24cdot frac{11}{24} = 14$

$|z_{1}-z_{2}|^{2} = sqrt{14}$

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