Questão 9
IME 2020
[IME - 2020/2021 - 2ª fase]
"Espaço: a fronteira final." Certa vez, esta conhecida nave interplanetária teve seu disco defletor destruído e entrou, logo em seguida, em movimento. Sabe-se que o disco defletor tem a funcionalidade de desviar qualquer partícula espacial que, mesmo pequena, em altas velocidades, poderia destruir a nave.
Considere uma outra nave espacial, de menor porte, que tenha sofrido o mesmo dano em seu disco defletor e seja obrigada a usar o escudo de força para se proteger. Seu escudo, ao invés de repelir, absorve a massa das partículas espaciais, como em choques perfeitamentes inelásticos. O excesso de energia cinética, após cada choque, é dissipado pelo escudo, mas qualquer carga elétrica encontrada permanece no escudo, deixando-o carregado. A nave resolve se dirigir para o planeta ocupado mais próximo, para sofrer reparos. Por conta dos sanos, só foi possível gerar uma velocidade inicial v0 de 8% da velocidade da luz e seus motores foram desligados até o momento de entrar em órbita. Durante o percurso, a nave encontra uma nuvem de partículas eletricamente carregadas, realizando um trajeto retilínio de comprimento L. Em média, uma partícula por quilômetro é encontrada pela nave. Essa nuvem localiza-se em uma região distante de qualquer influência gravitacional. Sabe-se que a nave permanecerá em uma órbita equatorial ao redor do planeta, cujo campo magnético apresenta intensidade uniforme, no sentido do polo Norte (N) para o polo Sul (S).
Dados:
- nave: massa inicial m0 = 300 toneladas e carga inicial q0 nula;
- partículas: massa média m = 100 mg e carga elétrica média q = 715 C;
- planeta: massa M = 6,3 x 1024 kg, raio R = 7.000 kg e intensidade do campo magnético B = 5 x 10-5 T;
- constante de gravitação universal G = 6,67 x 10-11 N.m2/kg2;
- velocidade da luz: c = 3 x 108 m/s; e
- comprimento da nuvem L = 7,5 x 108 km.
Observação: despreze a intensidade da força de repulsão entre as cargas de mesmo sinal.
Diante do exposto, pede-se a:
a) velocidade final da nave logo após o último choque;
b) energia máxima dissipada pelo escudo em um único choque; e
c) velocidade mínima da nave para manter uma órbita de altura H = 35 x 103 km acima da superfície do planeta.
Gabarito:
Resolução:
Ao invés de calcularmos a velocidade após cada colisão vamos pensar em uma montoado de partículas todas juntas que colidem de uma vez só na nave, oo total dessas partículas vale, se em 1Km tem 1 partícula então em L= 7,5.108 Km vale: n=7,5.108 partículas. COmo cada partícula "pesa"100mg então a massa total vale mp= 7,5.104 Kg
assim na conservação do momento linear temos;
E a carga total da nave será o número de partículas vezes a carga média de cada uma:
Agora a energia máxima dissipada em um único choque vamos pensar em somente 1 partícula e achar a velocidade final depois de um choque, mas podemos também achar a energia total dissipada e dividir pelo número de partículas:
Agora a energia final:
Logo:
Como a carga é positiva (analisando o sinal da carga fornecido) note que idenpendente do sentido da trajetória metade de cada revolução a força magnética estará no mesmo sentido que a força gravitacional e na outra metade estará apontada no sentido contrário, a velocidade, a velocidade mínima será a quando a força centrípeta (força resultante das duas forças) será maior, caso contrário a nave vai cair na superfície do planeta, logo a força centrípeta máxima vale:
Isso vai ficar uma eq de segundo grau onde a raiz positiva vale v=7983.19