Questão 2

IME 2020

Física

[IME - 2020/2021 - 2ª fase]

Um circuito é composto por uma fonte de tensão constante que alimenta resistores por intermédio de seis chaves. As chaves estão inicialmente abertas e mudam de estado sequencialmente nas faixas de tempo da tabela até concluir um ciclo completo:

Observações:

as chaves são ideais;
todas as faixas possuem a mesma duração;
o ciclo se repete 10 vezes por minuto;
a mudança de estado das chaves acontece sempre, instantaneamente, no início de cada faixa de tempo; e
todas as chaves são abertas instantaneamente no final da faixa de tempo 10.

Diante do exposto, pede-se:

a) a energia fornecida pela fonte, em joules, em 10 minutos;

b) a curva de potência (Watt) em função do tempo (segundos), fornecida pela fonte durante um ciclo completa; e

c) uma alternativa de configuração do circuito que, com chaves permanentemente fechadas, implica em um consumo de energia desde t = 0 até t = 10min igual ao consumo obtido do item a).

Gabarito:

Resolução:

a)

Se cada ciclo demora 10min e o mesmo tem 10 faixas, cada faixa dura 1min = 60s

1) a resistência total nessa etapa vale

$R_t = 40 + 20 = 60 Omega$

$P = frac { V^2}{R} ightarrow frac {90000}{60} = 1500 omega$

$P = frac { E}{Delta t} ightarrow E = 1500 cdot 60 = 90000J = 90kJ$

2) $R_T = 60 Omega$ logo a energia será igual ao item anterior $E = 90000J = 90kJ$

3) A resistência do ramo em paralelo será:

$frac {1}{R_{eq}} = frac {1}{40} + frac {1}{40} ightarrow R_{eq} = 20 Omega$

$R_T = 20 + 20 = 40Omega$

$P = frac {V^2}{R} ightarrow P = frac {300^2}{40} ightarrow P = 2250 W$

$E = P Delta t ightarrow E = 135 kJ$

4) $R_T = 30 Omega$

$P = frac {V^2}{R} ightarrow E = 180 kJ$

5) $R_T = 30 Omega$ logo a energia será igual ao caso anterior E = 180 KJ

6) A resistência equivalente da associação em paralelo será $R_{eq} = 10 Omega$ então a resistência total vale:

$R_T = 20 Omega$

$P = frac {V^2}{R} ightarrow P = 4500 W$

$E = P cdot Delta t ightarrow E = 270 kJ$

7) $R_T = 15 Omega$

$P = frac {V^2}{R} ightarrow P = 6000 W$

$E = P cdot Delta t ightarrow E = 360 kJ$

8) $R_T = 15$ a energia é a mesma do caso anterior:

$E = 360 kJ$

9) A resistência eq do ramo em paralelo vale:

$R_{eq} = 5 Omega$ logo $R_T = 10 Omega$

$P = frac {V^2}{R} ightarrow P = 9000W$

$E = P Delta t = 540 kJ$

10) Como já calculamos a resistênia equivalenete de cada ramo, o circuito fica:

$frac {1}{R_{eq}} = frac {1}{40} + frac {1}{20} + frac {1}{10}$

$frac {1}{R_{eq}} = frac {1+2+4}{40}$

$R_{eq} = frac {40}{7}$

$P= frac {V^2}{R} ightarrow P = 15750W$

$E = P Delta t ightarrow E = 945kJ$

Logo a energia total será:

$E_T = 90 + 90 + 135 +180+180+270+360+360+540+945 = 3150kJ$

b)

C)

Basta calcular a média das potências

$P_m = frac {1500 + 1500+2250+3000+3000+4500+6000+6000+9000+15750}{10}$

$P_m = 5250W$

$P = frac {V^2}{R}$

$R = 17,14Omega$

Essa configuração pode ser obtida usando as chaves 1, 2 e 3 fechadas (Foi feito por tentativa e erro)

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