Questão 18

IME 2020

Física

(IME - 2020 - Questão 18)

Quatro partículas, denominadas A, B, C e D, partem simultaneamente dos vértices de um quadrado de lado unitário. Todas as partículas apresentam velocidades escalares iguais durante suas trajetórias. A partícula A persegue a partícula B, de tal forma que o seu vetor velocidade está sempre na direção e sentido de A para B. O mesmo ocorre entre as partículas B e C, C e D e, finalmente, entre D e A. Tomando o centro do quadrado como origem do sistema de coordenadas, a tangente do angulo entre vetor unitário do sentido positivo do eixo x e o vetor que une o ponto A ao ponto B, quando A se encontra em um ponto arbitrário (x,y) da sua trajetória, é dada por:

$frac{x-y}{2x-2y+1}$

$frac{1+x-y}{x+y}$

$-frac{x-y}{x+y}$

$frac{x}{y}-frac{y}{x}$

$frac{1+x+y}{1-x+y}$

Gabarito:

$-frac{x-y}{x+y}$

Resolução:

Vamos analisar o movimento de duas partículas ao mesmo tempo A e B:

Perceba que a partícula A percorre a curva do ponto A até o A' enquanto a partícula B percorre a trajetória B até B'. Essas trajetórias são simétricas, de forma que:

$\ Delta x_A = lx ; Delta y_A =ly \ \ Delta x_B = -lx ; Delta y_B =ly$

Para calcular a tangente do ângulo theta, pela figura podemos chegar na seguinte expressão:

$tg( heta) = frac{l_x -l_y}{L-(l_y+l_x)} (I)$

Nas primeiras relações que obtemos podemos chegar na segunte relação:

$\ Delta x_A = l_x Rightarrow x - x_o= l_x \ \ Delta y_a =l_y Rightarrow y-y_o =l_y$

Em relação ao referêncial adotado temos que o ponto inicial da trajetória da partícula A é:

$\ x_o = - frac{L}2 \ \ y_o = - frac{L}{2}$

Finalmente substituindo em 1 temos:

$tg( heta)= frac{(x+frac{L}{2})- (y+frac{L}{2})}{L- (x+ frac{L}{2}+y+ frac{L}{2})} = frac{x-y}{-(x+y)}= -frac{x-y}{x+y}$

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