Questão 10

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Um determinado material radioativo, com volume inicial $Q_{{_{0}}}$ , é manipulado numa usina nuclear. A cada dia o resíduo impuro da substância é descartado, através de uma ligação por um pequeno orifício, num invólucro lacrado em formato de paralelepípedo retângulo. No primeiro dia, a quantidade $D_{{_{1}}}$ descartada corresponde a 1/3 do volume inicial do material e, de um modo geral, a quantidade $D_{{_{n}}}$ descartada no n-ésimo dia é dada pela relação: $D{_{n}} = frac{1}{3} D{_{n-1}}$ para n ≥ 2 Determine as dimensões do invólucro (altura, largura e profundidade) onde se armazena o material descartado de modo que o custo de fabricação seja mínimo (isto é, a superfície lateral tenha área mínima) e tenha capacidade prevista de armazenamento por tempo indeterminado.

Gabarito:

Resolução:

Temos que:

$D_1 = frac{Q_0}{3}$ ; $D_2 = frac{Q_0}{9}$ ; $D_3 = frac{Q_0}{27}$

E assim por diante, o que dá uma PG de razão $frac{1}{3}$ .

Dessa forma, o volume descartado será:

$D = D_1 + D_2 + D_3 + ...$ $D = D_1 + D_2 + D_3 + ... = frac{Q_0}{3} + frac{Q_0}{9}+frac{Q_0}{27}+...$

$= frac{Q_0}{3}+frac{Q_0}{9}+frac{Q_0}{27}+...$

$=frac{Q_0}{3}(1+frac{1}{3}+frac{1}{9}+...)$

$=frac{Q_0}{3}frac{1}{1-frac{1}{3}}=frac{Q_0}{2}$

Assim, devemos ter o volume V do caixote tal que $V geq frac{Q_0}{2}$ .

Como para minimizar os custos, a área superficial do caixote (paralelepípedo de dimensões a, b, c) deve ser mínima, essa área é dada por

$S = 2(ab + ac + bc)$ ,

que por $MA geq MG$

$S geq 2.3.sqrt[3]{(ab).(ac).(bc)}=6.sqrt[3]{(abc)^2}=6.(Q_0/2)^{2/3}$

O caso de igualdade na desigualdade das médias ocorre quando $ab=ac=bc$ , ou $a=b=c$ .

Assim, o caixote deve ser cúbico, e a sua aresta é dada por:

$a^3=frac{Q_0}{2}$ , ou

$a=sqrt[3]{frac{Q_0}{2}}$ .

Questões relacionadas

Questão 1

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE) Seja U o conjunto dos 1000 primeiros números naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda são omitidos. Seja o conjunto...

Ver questão

Questão 2

(IME - 2019/2020) O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo:

Ver questão

Questão 3

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE) Considere os conjuntos e . Seja o conjunto de funções cujo domínio é e cujo contradomínio é . Escolhend...

Ver questão

Questão 4

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE) Sabe-se que S = x + y + z, onde x, y e z são soluções inteiras do sistema abaixo. O valor de S é:

Ver questão