Questão 7

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Seja $frac{1}{b}= sen frac{pi }{14}cdot sen frac{3pi }{14}cdot senfrac{5pi}{14}.$ Determine b, onde b pertence ao conjunto dos números inteiros não nulos.

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente faremos uso da seguinte relação:

$egin{matrix} 1- ext{cis} heta=&; ext{cis}left(frac{ heta}{2} ight ) ext{cis}left(-frac{ heta}{2} ight )- ext{cis}left(frac{ heta}{2} ight ) ext{cis}left(frac{ heta}{2} ight )\ =&; ext{cis}left(frac{ heta}{2} ight )left[ ext{cis}left(-frac{ heta}{2} ight)- ext{cis}left(frac{ heta}{2} ight ) ight ]\ =&; ext{cis}left(frac{ heta}{2} ight )left[-2isinleft(frac{ heta}{2} ight ) ight ]\ end{matrix}$

Observe pela figura que é válida as seguinte desigualdades:

$egin{cases} left|-1- ext{cis}frac{6pi}{7} ight|=left|-1- ext{cis}frac{8pi}{7} ight|=left|1- ext{cis}frac{pi}{7} ight|=left| ext{cis}left(frac{pi}{14} ight )left[-2isinleft(frac{pi}{14} ight ) ight ] ight|=2sinfrac{pi}{14} \ left|-1- ext{cis}frac{4pi}{7} ight|=left|-1- ext{cis}frac{10pi}{7} ight|=left|1- ext{cis}frac{3pi}{7} ight|=left| ext{cis}left(frac{3pi}{14} ight )left[-2isinleft(frac{3pi}{14} ight ) ight ] ight|=2sinfrac{3pi}{14} \ left|-1- ext{cis}frac{2pi}{7} ight|=left|-1- ext{cis}frac{12pi}{7} ight|=left|1- ext{cis}frac{5pi}{7} ight|=left| ext{cis}left(frac{5pi}{14} ight )left[-2isinleft(frac{5pi}{14} ight ) ight ] ight|=2sinfrac{5pi}{14} \ end{cases}$

Observe agora:

$egin{matrix} left[2^3sinfrac{pi}{14}sinfrac{3pi}{14}sinfrac{5pi}{14} ight ]^2=&;left|-1- ext{cis}frac{2pi}{7} ight|left|-1- ext{cis}frac{4pi}{7} ight|left|-1- ext{cis}frac{6pi}{7} ight|left|-1- ext{cis}frac{8pi}{7} ight|left|-1- ext{cis}frac{10pi}{7} ight|left|-1- ext{cis}frac{12pi}{7} ight|\\ =&;|p(-1)| end{matrix}$

onde p é o polinômio

$egin{matrix} p(x)=&;(x- ext{cis}frac{2pi}{7})(x- ext{cis}frac{4pi}{7})(x- ext{cis}frac{6pi}{7})(x- ext{cis}frac{8pi}{7})(x- ext{cis}frac{10pi}{7})(x- ext{cis}frac{12pi}{7})\ =&;x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 end{matrix}$

logo:

$left[2^3sinfrac{pi}{14}sinfrac{3pi}{14}sinfrac{5pi}{14} ight ]^2=1 \\Rightarrow sinfrac{pi}{14}sinfrac{3pi}{14}sinfrac{5pi}{14}=frac{1}{8}$

portanto b=8.

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