Questão 2

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Seja uma região $S$ no plano complexo que consiste em todos os pontos $Z$ tais que $frac{Z}{20}$ e $frac{20}{ar{Z}}$ possuem partes real e imaginária entre 0 e 1, inclusive. Determine a área da região $S$ . Obs: $frac{20}{ar{Z}}$ é o conjugado do número complexo $Z$ .

Gabarito:

Resolução:

Seja o complexo z escrito em sua forma retangular temos:

$egin{cases} z=a+bi\ hat{z} = a - bi end{cases}\$

$frac{z}{20}=frac{a}{20}+frac{b}{20}iRightarrow left{egin{matrix}0leqslant aleqslant frac{a}{20} leqslant 1 Rightarrow 0leqslant aleqslant 20\ 0 leqslant frac{b}{20} leqslant 1 Rightarrow 0 leqslant b leqslant 20 end{matrix} ight.$

$frac{20}{ar{z}}=frac{20_z}{left | z ight |^2}=frac{20_a}{a^2+b^2}i\ left{egin{matrix} 0leqslant frac{20_a}{a^2+b^2}leqslant 1Rightarrow 20aleqslant a^2+b^2\ 0leqslant frac{20b}{a^2+b^2}leqslant 20bleqslant a^2+b^2 end{matrix} ight.$

De (I), segue que:

$a^2-20a+b^2geqslant 0\Rightarrow a^2-20a+100+b^2geqslant 100Rightarrow (a-10)^2+b^2geqslant 100$

De (II), segue que:

$b^2-20b+a^2geqslant 0\Rightarrow b^2-20b+100+a^2geqslant 100 Rightarrow (b-10)^2 + a^2geqslant 100$

logo, graficamente, as equações (III) e (IV) representam a área exterior às circunferências $sqrt{1} e sqrt{2}$ de centros $C_1(10,0) e C_2(0,10i)$ , respectivamente, e ambos de mesmo raio R=10.

Logo:

$S=frac{20^2}{2}-A_1-A_2\ A_1=A_2=frac{1}{4}cdot pi cdot 10^2-frac{1}{2} cdot 10^2\ Rightarrow A^1=A^2=50cdot left ( frac{pi }{2} -1 ight )\ Com isso: S=200-2cdot 50left ( frac{pi }{2} -1 ight )\ Rightarrow S=100left ( 3-frac{pi }{2} ight )$

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