Questão 5

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Uma matriz $A$ é semelhante a uma matriz $B$ se e somente se existe uma matriz invertível $P$ tal que

$A = P B P^{-1}$

a) Se $A$ e $B$ forem semelhantes, mostre que $det(A) = det(B)$ .

b) Dadas $C = egin{pmatrix} 4 & 2 \ 3 & 5 end{pmatrix}$ e $D = egin{pmatrix} 8 & -2 \ 3 & 1 end{pmatrix}$ , verifique se essas matrizes são semelhantes.

Gabarito:

Resolução:

a) Como $A = Pcdot Bcdot P^{-1}$ então

$Acdot P=Pcdot B\ det(Acdot B)=det(Pcdot B)\ detA=detB$

$\ Ccdot P=Pcdot D egin{pmatrix} 4 & 2\ 3 & 5 end{pmatrix}egin{pmatrix} x & y \ z & w end{pmatrix}=egin{pmatrix} x & y\ z & w end{pmatrix}egin{pmatrix} 8 & -2\ 3 & 1 end{pmatrix}\\ egin{pmatrix} 4x+2t & 4y+2w\ 3x+5t & 3y+5w end{pmatrix}=egin{pmatrix} 8x+3y & -2x+y\ 8t+3w& -27+w end{pmatrix}\\ left{egin{matrix} -4x-3y+27=0\ 2x+3y+2w=0\ 3x-3w-37=0\ 3y+4w+27=0 end{matrix} ight.Rightarrow left [ left(egin{smallmatrix} -4 & -3 & 2 & 0 &| 0\ 2& 3 & 0 & 2 &| 0\ 3& 0 & -3 & -3 & |0\ 0& 3 & 2 & 4 &| 0 end{smallmatrix} ight ) ight ]=2 \\ posto egin{pmatrix} -4 & -3 & 2 & 0\ 2 & 3 & 0 & 2\ 3 & 0 & -3 & -3\ 0 & 3 & 2 & 4 end{pmatrix} =2$

O posto da matriz ampliada é igual da matriz ao posto da matriz dos coeficientes, mas é menor que número de incógnitas a S.P.I (infinitas soluções)

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