Questão 1

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Sejam $a$ e $b$ raízes da equação $x^2-4x+M = 0$ , $c$ e $d$ raízes da equação $x^2-36x+N = 0$ . Sabendo-se que $a,b,c$ e $d$ formam uma progressão geométrica crescente, determine o valor de $M+N$ .

Gabarito:

Resolução:

1) Temos, da 1ª equação, por Girard:

$x^2-4x+M=0 \$ $\ left{egin{matrix} a+b=4&\ ab=M& end{matrix} ight.$

(raízes de a,b)

2) Da 2ª equação, por Girard:

$x^2-36x+N=0 \$ $\ left{egin{matrix} c+d=36& \ cd=N& end{matrix} ight.$

(raízes de c,d)

3) Queremos $M + N = ab + cd$

Como $(a,b,c,d)$ forma uma P.G crescente:

$\b = a cdot q; \ c = a cdot q^2; \ d = a cdot q^3;\ q>1$

4) Juntando todos os passos ( 1, 2 e 3 ), temos:

$\ left{egin{matrix}a+b=a+aq=4 herefore a(q+1)=4 (*)& \ c+d=aq^2+aq^3=36 herefore aq^2(q+1)=36 (**)& end{matrix} ight.$

5) Dividindo $(**)$ por $(*)$ :

$frac{aq^2(q+1)}{a(q+1)} = frac{36}{4} herefore q^2=9$

Como $q>1$

$q=3$

6) Substituindo em $(*)$ :

$\a(q+1)=4\ a(3+1)=4 herefore 4a=4 herefore a=1$

7) Portanto, $(a,b,c,d)$ = (1, 3, 9, 27) é a P.G, e queremos

$M+N = ab+cd=1cdot 3+9cdot 27=3+243$

$M+N=246$

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