Questão 12

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE)

O lugar geométrico definido pela equação

$x^2+3y^2+5=2x-xy-4y$

representa:

uma elipse

uma hipérbole

uma circunferência

um conjunto vazio

duas retas paralelas

Gabarito:

um conjunto vazio

Resolução:

Inicialmente definimos:

$F(x,y)=x^2+3y^2+xy+5-2x+4y$

e daí nossa cônica é descrita pelas soluções de

$F(x,y)=0$

o primeiro passo é determinar se esse conjunto possui um centro, o que descartaria o par de retas paralelas:

$egin{cases} frac{partial F}{partial x}=0\ frac{partial F}{partial y}=0 end{cases} Rightarrow egin{cases} 2x+y-2=0\ x+6y+4=0 end{cases}$

este sistema é possível e determinado, caracterizando então a existência de um centro. Para a posteridade, guardemos suas soluções:

$x=frac{16}{11}quad ext{e}quad y=-frac{10}{11}$

Agora precisamos saber se nossa cônica possui um caráter elíptico ou hiperbólico, para isso calculamos o seguinte determinante:

$egin{vmatrix} 1 & frac{1}{2}\ frac{1}{2} & 3 end{vmatrix}=3-frac{1}{4}=frac{11}{4}>0$

o que caracteriza um caráter elíptico. Infelizmente isso não conclui a questão, pois ainda existe a possibilidade de ser um conjunto vazio. Para isso usamos as soluções do sistema construído acima e inserimos em F(x,y):

$Fleft(frac{16}{11},-frac{10}{11} ight )=frac{16^2}{11^2}+3cdotfrac{10^2}{11^2}+frac{16cdot(-10)}{11^2}-frac{32}{11}+frac{(-10)cdot 4}{11}+5=frac{209}{121}>0$

e portanto concluímos que se trata do conjunto vazio.

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