Questão 11

IME 2019

Matemática

(IME - 2019/2020 - 1ª FASE)

Todos os arcos entre $0$ e $2pi$ radianos que satisfazem a desigualdade $sin x - frac{1}{2} > cos x + frac{sqrt3}{2}$ estão compreendidos entre:

$frac{pi}{12} e frac{pi}{6}$

$frac{5pi}{12} e frac{7pi}{12}$

$frac{2pi}{3} e frac{5pi}{6}$

$frac{pi}{3} e frac{pi}{2}$

$frac{5pi}{6} e frac{11pi}{12}$

Gabarito:

$frac{2pi}{3} e frac{5pi}{6}$

Resolução:

1) $sin x - frac{1}{2} > cos x + frac{sqrt3}{2}$

$sin x - cos x > frac{sqrt3}{2}+frac{1}{2}$

2) Multiplicando ambos os lados da equação por $frac{sqrt2}{2}$ (Lembre-se que esse é o valor do seno e do cosseno de $45^o$ , ou $frac{pi}{4} rad$ ):

$frac{sqrt 2}{2} cdot sin x - frac{sqrt 2}{2} cdot cos x > frac{sqrt 2}{2} cdot sin frac{sin pi}{3} + frac{sqrt 2}{2} cdot frac{sin pi}{3}$

3) Agora substituiremos os valores de $frac{sqrt2}{2}$ por seno e do cosseno de $45^o$ , ou $frac{pi}{4} rad$ , observe que o nosso objetivo aqui é chegar nas seguintes identidade: $sin(x pm y) = sin x cos y pm cos x sin y$

$\ sin x cdot cos frac{pi}{4} - cos x cdot sin frac{pi}{4}> cos frac{pi}{4} cdot sin frac{pi}{3}+ sin frac{pi}{4} cdot cos frac{pi}{3} \\ sin left(x-frac{pi}{4} ight)>sin left( frac{pi}{3}+frac{pi}{4} ight) \\ sin left( x-frac{pi}{4} ight)>sin left( frac{7pi}{12} ight)$

$\ frac{7pi}{12}> x - frac{pi}{4} >frac{5pi}{12} \\ frac{7pi}{12}+ frac{pi}{4}> x >frac{5pi}{12}+ frac{pi}{4} \\ frac{10pi}{12}> x >frac{8pi}{12} \\ frac{5pi}{6}> x >frac{2pi}{3}$

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