Questão 14

IME 2019

Matemática

(IME-2019/2020 - 1ª fase)

QUESTÃO ANULADA!!

Em um cubo regular de aresta $a$ , os pontos $M$ , $N$ e $L$ pertencentes às três arestas distintas que partem do vértice $A$ estão a uma distância $x$ de $A$ tal que $0< Xleq frac{A}{2}$

Para que plano $MNL$ seja tangente à esfera inscrita no cubo, o valor de $x$ é:

a) $frac{a}{2}left ( sqrt{3}-1 ight )$

b) $frac{a}{2}left ( 3-sqrt{3} ight )$ (Resposta correta, porém como contradiz o que o enunciado estabelece, questão anulada)

c) $frac{a}{2}left ( 2-sqrt{3} ight )$

d) $frac{a}{2}left ( 4-2sqrt{3} ight )$

e) $frac{asqrt{3}}{2}$

QUESTÃO ANULADA!!

A

Próxima questão

B

Marque a alternativa A

C

Marque a alternativa A

D

Marque a alternativa A

Gabarito:

Próxima questão

Resolução:

0) Interpretando o enunciado:

1) Temos um cubo ABCDEFGH

2) Temos também uma esfera com raio r e centro k

3) A esfera é tangente ao cubo, logo $rdoteq frac{a}{2}$

4) Pelo, enunciado, temos que $ar{AM}=ar{AN}= ar{AO}= x$

5) Temos então que AMNO é um tetraedro cuja base é tangente a esfera.

6) Logo, $overline{AK}=frac{asqrt{3}}{2}$

7) Porém,

$overline{AK}=overline{AP}+overline{PK}$

8) Logo, fazendo as substituições necessárias

$frac{asqrt{3}}{2}=h+R$

9) Com isso,

$h=frac{a}{2} cdot (sqrt{3}-1)$

em que h é a altura de AMNO.

10)

Utilizando as propriedades do triângulo equilátero em MON para encontrar MP:

$overline{MP}=frac{2}{3} cdot frac{(xsqrt{2}) cdot sqrt{3}}{2}=frac{xsqrt{6}}{3}$

11) Logo, $x^2=h^2+overline{MP}^2$

$x^2=[frac{a}{2} cdot (sqrt{3}-1)]^2+(frac{xsqrt{6}}{3})^2$

12) Desenvolvendo:

$x^2=frac{a^2}{4} cdot (sqrt{3}-1)^2+frac{2x^2}{3}$

$frac{x^2}{3}=frac{a^2}{4} cdot (sqrt{3}-1)^2$

$x=sqrt{frac{a^2}{4} cdot (sqrt{3}-1)^2 cdot 3}$

$x=frac{a}{2} cdot (sqrt{3}-1) cdot sqrt{3}$

$oxed{x=frac{a}{2} cdot (3-sqrt{3})}$ (Resposta correta, porém como contradiz o que o enunciado estabelece, questão anulada)

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