Questão 5

IME 2019

Física

(IME - 2019/2020 - 2ª FASE)

Uma partícula de massa $m$ e carga elétrica positiva $+q$ é lançada obliquamente com inclinação $alpha$ , em $t$ = 0, no plano $z=z_0$ , a uma velocidade inicial $v_0$ a partir da altura $y=h_0$ , conforme ilustra a figura. Em determinado instante de sua trajetória, a partícula é submetida a um campo magnético uniforme $vec{B}=(0,B,0)$ , cuja intensidade varia ao longo do tempo de acordo com o gráfico. Sabendo que $t_f$ representa o instante em que a partícula encerra seu movimento no ponto D de coordenadas ( $x_d$ ,0,0), ao atingir o plano $xz$ ; que A e C designam as posições da partícula, respectivamente, em $t = t_f$ - 5 s e $t = t_f$ – 2 s; e que a resistência do ar pode ser desprezada, responda o que se pede:

a) faça um esboço do gráfico da altura $y$ da partícula versus o tempo $t$ , desde seu lançamento até alcançar o ponto D, explicitando a altura máxima alcançada, a do ponto A e a do ponto C, com os correspondentes tempos; e

b) determine as coordenadas $x_c$ e $z_c$ do ponto C.

Dados:

plano de lançamento da partícula $z=z_0 =frac{225sqrt{3}}{pi}m;$
aceleração da gravidade: $g$ = 10 m/s² ;
velocidade inicial: $v_0$ = 100 m/s;
ângulo de lançamento da partícula: $alpha$ = 30º;
altura inicial da partícula: $h_0$ = 280 m.

Gabarito:

Resolução:

Como o campo magnético sempre está em y, o movimento nesta direção depende apenas de g:

$y(x)=h_o+v_{oy}x-(frac{gx^2}{2})$

a) $y(x)=280+50x-(5x^2)$

Calculo de $x_f$ :

$y_0 = 0 ightarrow 0 = 280 + 50x_f-5x_f^2 ightarrow x_f^2 -10x_f-56 = 0 ightarrow x_f = 14s$

(desprezamos a raiz negativa):

$x_A = 95m, x_C = 125m$

$y_{max}=-Delta /(4.(-5))=8100/20=405 m$

$y(x_A)=325 m;y(x_C)=160m$

Gráfico:

b) Esboço do movimento em xz:

$x_C = RsenTheta +X_A=(frac{90sqrt{91}}{pi }.frac{sqrt{3}}{2}+450sqrt{3})m$

$z_C +R.cosTheta =R+Z_o$

$z_C =z_0+R(1-cosTheta )=(frac{225.sqrt{3}}{pi }+frac{90.sqrt{91}}{pi }.frac{1}{2})m=(frac{225.sqrt{3}}{pi }+frac{45.sqrt{91}}{pi })m$

$Theta =omega .3s=frac{3qB_1}{m}=frac{3q}{m}.frac{mpi }{2q}=frac{pi }{3}rad$

$R=frac{mv}{qB_1}$

ou

$omega =frac{qB_1}{m}$

$v=sqrt{v_0^2-2g(h_A-h_0)}=10sqrt{91}m/s ightarrow R = 10sqrt{91}frac{m}{q}.frac{9q}{mpi }=frac{90.sqrt{91}}{pi }m$

Podemos definir o raio da trajetória como:

$R = frac{m.v_x}{q.B}Rightarrow R = frac{ m .v.cosn(alpha)}{q.frac{m. pi}{9q}} Rightarrow R = frac{225. sqrt 3 }{pi}$

Olhando o Triângulo O Xa Xc temos a seguinte relação:

$tg(60)= frac{(X_c - X_a )}{ overline {OX_a}}Rightarrow sqrt 3 . X_a = X_c - X_a Rightarrow sqrt 3 . overline {OX_a}$

Como a distância de O até Xa é o raio que calculamos podemos substituir os valores já encontrados:

$X_c = sqrt 3 . (frac{ 225 . sqrt 3}{pi}) + 450.sqrt 3Rightarrow X_c = frac{675}{pi}=+450 sqrt 3$

E o Zc vai ser zero:

$Z_c=0$

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