Questão 9

IME 2017

Matemática

(IME- 2017/2018 - 2ª FASE )

Considere um triângulo ABC onde BC = a, AB = c, AC = b , c > b. O círculo inscrito a esse triângulo tangencia BC em D e DE é um diâmetro desse círculo. A reta que tangencia o círculo e que passa por E intercepta AB em P e AC em Q. A reta AE intercepta BC no ponto R. Determine os segmentos de reta EQ e DR em função dos lados do triângulo: a, b e c.

Gabarito:

Resolução:

Considere os pontos adicionais F e G, tangentes à circunferência.

Temos pela relação das retas tangentes que:

AF = AG = p - a (sendo p o semiperímetro do triângulo ABC)

CF = CD = p - c ; BD = BG = p - b.

Pelo mesmo motivo, temos que:

QE = QF = x;

PE = PG = y;

Note que a razão dos lados dos triângulos semelhantes ABC e APQ deve ser igual a razão dos perímetros desses triângulos.

$frac{AQ}{AC}= frac{left(p - a -x ight ) + left(p-b-y ight ) + x+y}{2p} = frac{p-a}{p}$

$frac{AQ}{b} = frac{p-a}{p}$

$frac{p-a-x}{b} = frac{p-a}{p}$

$x=frac{left(p-a ight )left(p-b ight )}{p}$

Mas, o semi-perímetro p é dado por $frac{a+b+c}{2}$

Então:

$x = frac{left(frac{a+b+c}{2} -a ight)left( frac{a+b+c}{2} -b ight )}{frac{a+b+c}{2}}$

$x = QE = frac{left(b+c-a ight )left(a-b+c ight)}{a+b+c}$

Da mesma forma, iremos comparar os triângulos semelhantes AQE e ACR.

$frac{CR}{QE} = frac{AC}{AQ}$

$frac{CR}{frac{left(p-a ight )left(p-b ight )}{p}} = frac{b}{frac{p-a}{p}b}$

$CR = p-b$

$DR = CR - CD$

$DR = p - b - left(p-c ight )$

$DR = c-b$

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