Questão 15

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE)

Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão 2. Sua área total é de 28 cm². Calcule o valor da diagonal do referido prisma.

$sqrt{17 }$ cm

$sqrt{19 }$ cm

$sqrt{21}$ cm

$2sqrt{7}$ cm

$sqrt{29}$ cm

Gabarito:

$sqrt{21}$ cm

Resolução:

Considerando que as 3 arestas formam uma progressão geométrica de razão 2, podemos escrever elas como : (a,2a,4a).

Sabemos que a área total é dada por:

$2left( a.2a ight)+ 2left( a.4a ight) + 2left( 2a.4a ight) = 28$

$2left(a.2a+a.4a+2a.4a ight ) = 28$

$2a^{2}+ 4a^{2}+ 8a^{2} = 14$

$a^{2} = 1$

$a=1$

A diagonal desse prisma é dada pelo módulo do vetor formado pelas 3 arestas:

$d = sqrt{a^{2} + left(2a ight )^{2} + left(4a^{2} ight )}$

$d = sqrt{21a^{2}}$

$d = asqrt{21} = 1sqrt{21}$

$d sqrt{21}$

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