Questão 4
IME 2017
(IME - 2017/2018 - 1ª FASE)
Seja f(x) uma função definida no conjunto dos números reais, de forma que f(1) = 5 e para qualquer x pertencente aos números reais f(x+4) ≥ f(x) + 4 e f(x+1) ≤ f(x) + 1.
Se g(x) = f(x) + 2 - x, o valor de g(2017) é:
2
6
13
2.021
2.023
Gabarito:
6
Resolução:
Sabemos que . Então,
,
, e assim vai. Como queremos conhecer f(2017), então:
...
Somando tudo (soma telescópica):
=
, onde
é o número de equações nesta soma telescópica. É fácil descobrir
, só subtrair 2013 por 1, dividir o resultado desta subtração por 4 e somar o resultado da divisão com 1:
. Daí, sendo f(1) = 5:
Agora vamos analisar a inequação conforme o que foi feito anteriormente:
...
Somando tudo:
=
, onde
é o número de inequações. É fácil ver que
, então:
Daí, como , então podemos afirmar que
.
Com isto e sabendo que , então:
.
Logo, g(2017) = 6.
A alternativa correta é, portanto, a Letra B.