Questão 2

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )

Resolva a inequação abaixo, onde x é uma variável real.

$2 cdot |x^{3}| - 6x^{2} + 3cdot |x| +2 < 0$

Gabarito:

Resolução:

Chamando $left [ x ight ]$ de $t$ , temos:

$2t^{3} - 6t^{2} + 3t + 2 < 0$

Por observação, sabemos que uma das raízes é 2.

Utilizando Briott Rouffini.

Com isso:

$left(t-2 ight )left(2t^{2}-2t-1 ight ) < 0$

Encontrando as raízes da segunda equação:

$t = frac{2+- 2sqrt{3}}{4}$

$t = frac{1+- sqrt{3}}{2}$

Estudando o sinal:

$f1 = (t-2)$ ; $t < 2$

$f2 = left(2t^{2} - 2t -1 ight )$ ; $frac{1-sqrt{3}}{2} < t < frac{1+sqrt{3}}{2}$

Então $f1.f2;$ $t <frac{1-sqrt{3}}{2}$ ou $frac{1+sqrt{3}}{2} < t < 2$

Como |x| = t:

$left | x ight | < frac{1- sqrt{3}}{2}$ Conjunto solução vazio.

$frac{1- sqrt{3}}{2} < left | x ight | < 2$

$-2< x <2$

$-frac{1+ sqrt{3}}{2} > x > frac{1+ sqrt{3}}{2}$

$S = left { xin mathbb{R}: -2 < x < -frac{1+sqrt{3}}{2} ou frac{1+sqrt{3}}{2} < x < 2 ight }$

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