Questão 8

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )

Considere a elipse abaixo, onde DD' é uma corda passando pelo seu centro, MM' uma corda focal e o eixo maior da elipse é 2a.

Prove que: DD'² = mm' . 2a

Gabarito:

Resolução:

$FM = x$

$FM = 2a - x$

Pela lei dos cossenos no triângulo FMF'

$left(2a - x ight )^{2} = x^{2} + left(2c ight )^{2} +2p.2c.cos heta$

$4a^{2} - ax + x^{2} = x^{2} + 4c^{2} + 4xc. cos heta$

$4left(a^{2} - c^{2} ight ) = 4ax + 4xc. cos heta$

Pela relação da elipse: $a^{2} - c^{2} = b^{2}$

$x = frac{b^{2}}{a+c.cos heta}$

Ao substituir $heta$ pelo complementar $180 - heta$ temos que:

$FM = frac{b^{2}}{a - c.cos heta}$

Dessa forma , $MM$ é dado pela soma vetorial $FM + FM$

$MM = frac{b^{2}}{a+c.cos heta}+frac{b^{2}}{a-c.cos heta}$

$MM = frac{b^{2}left(a-c.cos heta+ a+c.cos heta ight )}{a^{2}-c^{2}.cos^{2} heta}$

$MM = frac{2ab^{2}}{a^{2}-c^{2}cos^{2} heta}$

$y = CD = CD$

O vetor $D = left(ycos heta, ysen heta ight )$ pertence à elipse:

$b^{2}left(ycos heta ight)^{2} + a^{2}left(ysen heta ight )^{2} = a^{2}b^{2}$

$2y = frac{2ab}{sqrt{b^{2}cos^{2} heta+ a^{2}sen^{2} heta}}$

Agora, provando que $DD1^{2} = MM.2a$

$frac{4a^{2}b^{2}}{b^{2}cos^{2} heta+a^{2}sen^{2} heta} =frac{2ab^{2}}{a^{2}-c^{2}cos^{2} heta}2a$

$b^{2} cos^{2} heta + a^{2}sen^{2} heta = a^{2} - left(a^{2} - b^{2} ight )cos^{2} heta.$

$b^{2} cos^{2} heta + a^{2}sen^{2} heta = a^{2} left(1-cos^{2} heta ight )b^{2}cos^{2} heta.$

$b^{2} cos^{2} heta + a^{2}sen^{2} heta = a^{2} left(sen^{2} heta ight )b^{2}cos^{2} heta.$

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