Questão 3

IME 2017

Matemática

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE )

A soma dos algarismos de X com a soma dos quadrados dos algarismos de X é igual a X. Sabe-se que X é um número natural positivo. O menor X possível está no intervalo:

(0,25]

(25,50]

(50,75]

(75,100]

(100, 125]

Gabarito:

(75,100]

Resolução:

Temos que X não pode ter um algarismo:

$a + a^{2} eq a$

Como o enunciado pede o menor valor possível para que essa condição passe, vamos considerar que X tem dois algarismos, sendo escrito na forma ab com a o algarismo das dezenas e b o algarismo das unidades.

$a + b + a^{2} + b^{2} = 10.a + b$

$a^{2}+ b^{2} = 9a$

Como temos apenas dois algarismos, a deve ser maior que 0 e menor ou igual a 9. Podemos testar os valores de a para os quais b é natural.

Encontramos assim que a = 9 e b = 0

O número X é igual a 90

E está no intervalo (75,100]

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