Questão 5

IME 2017

Física

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )

Como mostra a figura, uma fonte sonora com uma frequência de 400 Hz é liberada em velocidade inicial nula, escorrega com atrito desprezível em um plano inclinado e passa a se mover em uma superfície horizontal, também com atrito desprezível.

Dados:

- frequência ouvida pelo observador quando a fonte sonora passa por ele: 420Hz

- ângulo entre o plano inclinado e a superfície horizontal: $heta = 30^{circ}$

- distância entre o observador e a base do plano inclinado: d = 4 m

- velocidade do som: 340 m/s

- aceleração da gravidade: $g = 10frac{m}{s^2}$

- $sqrt{13} cong 3,6$

- $sqrt{5} cong 2,2$

Diante do exposto, determine:

a) a altura inicial h da fonte em relação à superfície horizontal, em função dos demais parâmetros;

b) o tempo decorrido, em segundos, entre o instante em que a fonte é liberada e o instante em que a fonte passa pelo observador.

Gabarito:

Resolução:

a) A fonte libera um som com frequência de 400 Hz, mas a frequência ouvida pelo observador é de 420 Hz.

Isso já indica que a fonte passa pelo observador com uma certa velocidade v_fonte.

Da equação do efeito Doppler:

$f = f_{0} cdot frac{v_{som}}{v_{som} - v_{fonte}}$

$v_{som} - v_{fonte} = f_{0} cdot frac{v_{som}}{f}$

$v_{fonte} = v_{som} - frac{f_{0} v_{som}}{f}$

$v_{fonte} = v_{som} cdot frac {(f-f_{0})}{f}$

Vamos agora usar a conservação da energia mecânica para descobrir a altura:

$frac {m v_{fonte} ^{2}}{2} = mgh$

$h = frac{v_{fonte}^{2}}{2g}$

Substituindo:

$h = frac{[frac{v_{som}(f - f_{0})}{f}]^{2}}{2g}$

$h = v_{som}^{2} (f - f_{0})^{2} cdot frac{1}{2gf^{2}}$

Substituindo os valores:

$h = frac{340^{2} cdot (20)^{2}}{20 cdot 420 ^{2}}$

$h = frac{340^{2} cdot 20}{420 ^{2}}$ $h approx 13 m$

b) Para encontrar o tempo decorrido vamos dividir em duas análises: a primeira é no plano inclinado e a segunda é já na parte horizontal.

A velocidade final da fonte após a descida, que é constante durante a parte horizonta, é $v_{fonte} = sqrt{2gh}$ obtida da conservação da energia.

Sendo h = 13m: $v_{fonte} = sqrt{2 cdot 10 cdot 13} = 2sqrt{5} cdot sqrt{13}$

Usando os dados do enunciado, $v_{fonte} approx 15,84 m/s$

O comprimento da parte horizontal é de 4 metros, e o comprimento do plano inclinado é d tal que $frac{h}{d} = sen 30 ^{circ}$

$frac{13}{frac{1}{2}} = d Rightarrow d = 26 m$

A velocidade média na descida do plano inclinado é 7,92 m/s. Usando o fato de que na descida temos um MUV, logo a velocidade média é dada pela média aritmética entre a velocidade inicial(nula) e a velocidade final.

Dessa forma, o tempo gasto para descer o plano é t₁ = 26/(7,92) que é aproximadamente 3,30 s.

O tempo gasto para percorrer a parte horizontal é t₂ = 4/(15,84) que é aproximadamente 0,25 s.

Assim, o tempo total pedido pelo enunciado é de 3,55 s, aproximadamente.

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