Questão 11

IME 2017

Física

(IME - 2017/2018 - 1ª FASE )

Duas partículas A e B carregadas eletricamente com mesmos valores de cargas positivas, partem da origem em velocidade nula no instante t = 0, e têm suas componentes de aceleração em relação aos eixos X e Y regidas pelas seguintes equações temporais:

Partícula A: $left{egin{matrix} a_{x}t & = cos(t) \ a_{y}t & = sen(t) end{matrix} ight.$

Partícula B: $left{egin{matrix} a_{x}t & = -cos(t) \ a_{y}t & = sen(t) - cos(t) end{matrix} ight.$

O instante t_min, onde $mathrm{0 leq t leq 2 pi}$ , em que a força de repulsão entre as cargas é mínima é

$mathrm{frac{3}{2} pi}$

$mathrm{frac{1}{4} pi}$

$frac{1}{2} pi$

$mathrm{frac{3}{4} pi}$

$mathrm{pi}$

Gabarito:

$mathrm{pi}$

Resolução:

[E]

Em x:

$V_{Ax} (t) = int cos (t) dt = sen (t) + k_{1}$

$V_{Ax} (0) = 0 Rightarrow k_{1} = 0$

$S_{Ax} (t) = int sen(t) dt = -cos (t) + k_{2}$

$S_{Ax} (0) = 0 Rightarrow k_{2} = 1$

$S_{Ax} (t) = 1 - cos (t)$

Em y:

$V_{Ay} (t) = int sen (t) dt = -cos (t) + k_{3}$

$V_{Ay} (0) = 0 Rightarrow k_{3} = 1$

$S_{Ay} (t) = int (1 - cos (t)) dt = t - sen (t) + k_{4}$

$S_{Ay} (0) = 0 Rightarrow k_{4} = 0$

$S_{Ay} (t) = t - sen (t)$

Logo: $vec {S_{A}} (t) = (1 -cos t, t - sen t)$

Analogamente, para a partícula B, obtemos:

$vec {S_{B}} = (cos (t) -1, cos (t) - sen (t) + t - 1)$

A distância entre as partículas é dada por:

$vec S _{A, B} (t) = | S_{A} - S_{B} | = | (2 - 2 cos t, 1 - cos t) |$

$vec S _{A, B} (t) = sqrt{(2 - 2cost)^{2} + (1 - cos t) ^{2}}$

$vec S _{A, B} (t) =|sqrt{sqrt{5} (1- cos(t))}|$

A força de repulsão entre as cargas será mínima quando a distância entre elas for máxima. E $mathrm{left | overrightarrow{S}_{A,B} (t) ight |}$ será máxima para cost = –1, ou seja, $mathrm{t = pi + 2 pi k (k in mathbb{Z})}$ .

Dado o intervalo do enunciado, podemos concluir que:

$t_{min} = pi$

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