Questão 8

IME 2017

Física

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE ) Determine a energia total armazenada pelos capacitores do circuito infinito da figura abaixo.

Dados:

- $R = 3 Omega$

- $U = 8V$

- $C = 1F$

Gabarito:

Resolução:

Simplificando o circuito:

$frac{R_{eq} cdot R}{R_{eq} + R} + 2 cdot frac{2R}{3} = R _{eq}$

$R_{eq} ^{2} - frac{4R}{3} cdot R_{eq} - frac{4R^{2}}{3} = 0$

Resolvendo esta equação do 2º grau para R_eq, obtemos:

$R _{eq} = frac{frac{4R}{3} pm sqrt{(frac{4R}{3})^{2}+ 4 cdot 1 cdot frac{4R^{2}}{3}}}{2 cdot 1}$

$R _{eq} = 2R$

Portanto:

$R_{AB} = frac{2R cdot 2R}{2R + 2R}$

$R_{AB} = R = 3 Omega$

Tensão U no circuito:

$U = 8 cdot frac{2}{6} Rightarrow U = frac{8}{3} V$

Este padrão irá se repetir infinitamente, com a tensão sobre cada capacitor sendo 1/3 da anterior. Dessa maneira, como a energia armazenada é calculada por CU²/2, a energia total será:

$E = frac{1}{2} cdot (frac{8}{3}) ^{2} + frac{1}{2} (frac{8}{9})^{2} + frac{1}{2} (frac{8}{27}) ^{2} + cdots = S_{infty} = frac{1}{2} frac{(frac{8}{3})^{2}}{1 - frac{1}{3}} = 4 J$

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