Questão 3

IME 2017

Física

(IME - 2017/2018 - 2ª FASE )

Um pêndulo balístico é formado por uma barra uniforme de massa M e comprimento d As duas hastes que suspendem a barra são idênticas, de comprimento L e massa específica $mu$ constante.

Dado:

- aceleração da gravidade: g

Consideração:

- a massa das hastes é desprezível em comparação com as massas da barra e a do projétil.

a) Sabendo que um projétil de massa m atinge a barra e ambos sobem de uma altura h determine a velocidade do projétil;

b) Após o pêndulo atingir o repouso, as hastes recebem petelecos simultaneamente em seus centros, passando a vibrar em suas frequências fundamentais, produzindo uma frequência de batimento f_bat. Determine a penetração horizontal x do projétil na barra, em função das demais grandezas fornecidas.

Gabarito:

Resolução:

a) Pelo princípio da conservação da quantidade de movimento:

mv_p = (m+M)V, em que v_p é a velocidade do projétil antes da colisão.

Pelo princípio da conservação da energia, após a colisão:

$(m+M)gh = frac{(m+M)V^2}{2}$

$V = sqrt{2gh}$ .

Dessa forma, ao substituir a velocidade acima na relação da conservação do momento linear, obtemos:

$v_p = frac{(m+M)sqrt{2gh}}{m}$ .

b) Após o pêndulo atingir o repouso temos a seguinte situação:

A frequência em cada haste é dada por $f_n = frac{V_n}{2L}$ , em que o índice n representa o número associado à haste - 1 ou 2.

A velocidade de propagação das ondas é dada por $V_n = sqrt{frac{T_n}{mu}}$ .

A frequência de batimento é dada por $f_{bat} = f_1 - f_2$ .

Substituindo as relações encontramos.

$f_{bat} = frac{1}{2Lsqrt{mu}}cdot(sqrt{T_1} - sqrt{T_2})$ .

Se há repouso, então a barra deve estar equilibrada.

Logo, os momentos das forças tem resultante nula.

Podemos escrever então, em relação ao centro de massa da barra:

$frac{T_1*d}{2} = frac{T_2*d}{2} + P_p*frac{(d-2x)}{2}$ .

$T_1*d = T_2*d + P_p*(d-2x)$ .

$T_1 - T_2 = P_p(1 - frac{2x}{d})$

$T_1 - T_2 = P_p - frac{2P_px}{d} (I)$

Do equilíbrio das forças na vertical:

$T_1 + T_2 = P_p + P_B (II)$

Somando I e II:

$2T_1 = 2P_p + P_B - frac{2P_px}{d}$

$T_1 = frac{P_B}{2} - P_p*(frac{d-x}{d})$

Fazendo II - I:

$2T_2 = P_B + frac{2P_px}{d}$

$T_2 = frac{P_B}{2} + frac{P_px}{d}$ .

Agora é hora de manipular a expressão batimento para substituir as trações:

$f_{bat} = frac{1}{2Lsqrt{mu}}cdot(sqrt{T_1} - sqrt{T_2})$

$f_{bat}*2Lsqrt{mu} = (sqrt{T_1} - sqrt{T_2})$

Agora elevamos ambos os lados ao quadrado:

$(f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2 = (sqrt{T_1} - sqrt{T_2})^2$

$(f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2 = T_1 -2sqrt{T_1*T2} +T_2$

Do equilíbrio das forças na vertical podemos substituir T₁ e T₂ por (m+M)g.

$(f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2 = (m+M)g -2sqrt{T_1*T2}$

Vamos rescrever:

$(m+M)g - (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2 = 2sqrt{T_1*T2}$ .

Agora elevamos os 2 lados ao quadrado:

$((m+M)g - (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2)^2 = (2sqrt{T_1*T2})^2$

$((m+M)g - (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2)^2 = 4(T_1*T2)$

$((m+M)g - (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2)^2 = 4([frac{P_B}{2} + frac{P_p(d-x)}{d}]*[frac{P_B}{2} + frac{P_px}{d}])$

Vamos aplicar a distributiva do lado direito:

$\((m+M)g - (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2)^2= 4((frac{P_B}{2})^2 + frac{P_BP_px}{2d} + frac{P_pP_B(d-x)}{2d} + frac{P_p^2(d-x)x}{d^2})$

Vamos simplificar os termos centrais dentro do parênteses do lado direito:

$\((m+M)g - (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2)^2= 4((frac{P_B}{2})^2 + frac{P_pP_B}{2} + frac{P_p^2(d-x)x}{d^2})$

Vamos expandir mais um pouco:

$\((m+M)g - (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2)^2 = 4((frac{P_B}{2})^2 + frac{P_pP_B}{2} - frac{P_p^2x^2}{d^2}+frac{P_p^2dx}{d^2})$ .

Aplicamos a distributiva novamente, multiplicando todo mundo do lado direito por 4:

$\((m+M)g - (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2)^2= (P_B^2 + 2P_pP_B - frac{4P_p^2x^2}{d^2}+frac{4P_p^2dx}{d^2})$

Vamos reescrever:

$\(P_B^2 + 2P_pP_B - frac{4P_p^2x^2}{d^2}+frac{4P_p^2dx}{d^2}) -( (m+M)g - f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2 =0$

Perceba que (P_B² + 2P_pP_B) = (P_B + P_p)² - P_p², e que (m+M)g = P_B + P_p.

Dessa forma, uma simplificação seria:

$\((P_B + P_p)^2 - P_p^2 -frac{4P_p^2x^2}{d^2}+frac{4P_p^2dx}{d^2}) -((P_B + P_p) - (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2)^2 =0$

Expandindo o segundo parênteses obtemos:

$\((P_B + P_p)^2 - P_p^2 -frac{4P_p^2x^2}{d^2}+frac{4P_p^2dx}{d^2}) -((P_B + P_p)^2 - 2(f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2(P_B + P_p) + (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^4 ) =0$

Perceba que podemos simplificar:

$\(cancel{(P_B + P_p)^2} - P_p^2 -frac{4P_p^2x^2}{d^2}+frac{4P_p^2dx}{d^2}) -(cancel{(P_B + P_p)^2} - 2(f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2(P_B + P_p) + (f_{bat}*2Lsqrt{mu})^4) =0$

Reescrevendo, e aplicando a distributiva:

$\-frac{4P_p^2x^2}{d^2}+frac{4P_p^2dx}{d^2} - P_p^2 -(f_{bat}*2Lsqrt{mu})^4 + 2(f_{bat}*2Lsqrt{mu})^2(P_B + P_p) =0$

Perceba que dá pra analisar essa expressão com base na equação de segundo grau ax² + bx + c = 0, que tem soluções:

$x = frac{-b pm sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ .

Mas antes disso vamos trabalhar melhor a expressão.

Multiplicando todo mundo por $frac{-d^2}{4P_p^2}$ :

$x^2 - dx + frac{d^2}{4} + frac{4d^2f_{bat}^4L^4mu^2}{P_p^2} - frac{2d^2f_{bat}^2L^2mu(P_B + P_p)}{P_p^2} = 0$

Vamos substituir novamente P_B e P_p usando os parâmetros dados:

$x^2 - dx + frac{d^2}{4} + frac{4d^2f_{bat}^4L^4mu^2}{m^2g^2} - frac{2d^2f_{bat}^2L^2mu(m+M)g}{m^2g^2} = 0$

Dá pra agrupar os termos independentes de x:

$x^2 - dx +frac{d^2}{4}( +1 + frac{16f_{bat}^4L^4mu^2}{m^2g^2} - frac{8f_{bat}^2L^2mu(m+M)g}{m^2g^2}) = 0$

Então, para usarmos as soluções usando a base mostrada acima temos a = 1, b = -d e $c = frac{d^2}{4}( +1 + frac{16f_{bat}^4L^4mu^2}{m^2g^2} - frac{8f_{bat}^2L^2mu(m+M)g}{m^2g^2})$ .

$x = frac{-(-d)pm sqrt{(-d)^2 - 4*frac{d^2}{4}(+1 + frac{16f_{bat}^4L^4mu^2}{m^2g^2} - frac{8f_{bat}^2L^2mu(m+M)g}{m^2g^2})}}{2}$ .

$x = frac{dpm sqrt{d^2[1 -(+1 + frac{16f_{bat}^4L^4mu^2}{m^2g^2} - frac{8f_{bat}^2L^2mu(m+M)g}{m^2g^2})]}}{2}$

$x = frac{dpm dsqrt{ -frac{16f_{bat}^4L^4mu^2}{m^2g^2} + frac{8f_{bat}^2L^2mu(m+M)g}{m^2g^2}}}{2}$

$x = frac{d}{2}cdot(1pm sqrt{[ frac{8f_{bat}^2L^2mu(m+M)}{m^2g}-frac{16f_{bat}^4L^4mu^2}{m^2g^2} ]})$ .

Observação extra: Veja que se substituirmos f_bat = 0 na nossa expressão - situação em que não há batimento - encontramos x = d/2. Logo, o projétil percorreria metade da barra e as tensões T1 e T2 ficam iguais(situação de simetria)

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