Questão 8

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 2ª fase)

Seja A={1,2,3,4}.

Quantas funções de A para A têm exatamente 2 elementos em seu conjunto imagem?
Entre as 256 funções de A para A, sorteiam-se as funções ݂f e ݃g, podendo haver repetição. Qual a probabilidade da função composta ݂f ∘ ݃g ser uma função constante?

Gabarito:

Resolução:

Respondendo ao primeiro tópico:

Precisamos saber de quantas maneiras diferentes eu posso pegar 2 elementos da imagem sem repetição.

Temos uma combinação $C_{4,2} =frac{4!}{2!2!}=6$

Dados dois elementos da imagem, um elemento no domínio tem 2 possibilidades de correspondência. Como temos que elementos, o número de possibilidades é:

$2.2.2.2 =16$

Porem existem dois casos que não podem entrar nesse cálculo. Os casos em que todos elementos do domínio correspondem à um dos dois elementos dados na imagem. Dessa forma, o número de funções que o enunciado pede é:

$left(16-2 ight ).6 = 84$

Respondendo ao segundo tópico:

Queremos a probabilidade da composta de f e g seja constante. Trabalhando primeiro com g, iremos pegar todos os tipos de g. Depois iremos pegar a imagem de g e ver para quais f essa imagem vira imagem constante de f.

Caso 1:

Todos os elementos de g equivalem a um elemento na imagem. 4 possibilidades.

Como a imagem de g só tem um elemento, qualquer f corresponderá a um elemento.

probabilidade: $frac{4}{256}. frac{256}{256} = frac{4}{256}$

Caso 2:

Cada elemento de g equivale a um elemento distinto na imagem. Possibilidades: $4! = 24$

Dados 4 elementos da imagem de g, só existem 4 f que levam esses 4 elementos a um elemento na imagem de f.

Probabilidade: $frac{24}{256}.frac{4}{256}$

Caso 3 :

Cada elemento de g corresponde a 2 elementos na imagem.(Já calculamos isso no primeiro tópico) 84.

Dados 2 elementos na imagem de g, temos que esses 2 elementos podem corresponder a 4 elementos na imagem de f. Sombram-se ainda 2 elementos livres no dominio de f, cada um com 4 possibilidades. Possibilidades: $4.4.4 = 64$

probabilidade: $frac{84}{256}.frac{64}{256}$

Caso 4:

Por subtração dos casos anteriores $256 - left(4+24+64 ight ) = 164$ , temos 164 possibilidades para cada g, com cada elemento correspondendo a 3 elementos na imagem.

Dados 3 elementos na imagem de g, esses 3 elementos podem corresponder a quatro elementos na imagem de f. Sobra um elemento livre no dominio de f, que pode corresponder a 4 elementos da imagem de f. Possibilidades: $4.4 =16$

probabilidade: $frac{164}{256}.frac{16}{256}$

A probabilidade final que procuramos é dada por:

$P = left(frac{4}{256} ight ) + left(frac{24}{256}.frac{4}{256} ight ) + left(frac{84}{256}.frac{64}{256} ight )+ left(frac{164}{256}.frac{16}{256} ight )$

$P = frac{1}{64} + frac{21}{256} + frac{9}{256}+ frac{3}{2048}$

$P =frac{275}{2048}$

Questão 8

IME 2016

Questões relacionadas

Questão 1

Questão 2

Questão 1440

Questão 4