Questão 4

Matemática

(IME - 2016/2017 - 1ª fase)

No desenvolvimento de

o valor do termo independente de x é igual a 63/256 . Considerando que β é um número real, com 0 < β < π/8 e x ≠ 0, o valor de β é:

$frac{pi}{9}$

$frac{pi}{12}$

$frac{pi}{16}$

$frac{pi}{18}$

$frac{pi}{24}$

Gabarito:

$frac{pi}{24}$

Resolução:

Para essa situação, o termo geral do binômio de Newton é o seguinte:

$T_{k+1} = inom{10}{K}left(x. sen 2eta ight )^{10-k}left(frac{1}{x}.cos 2eta ight )^{k}$

$T_{k+1} = inom{10}{K}left(x. sen 2eta ight )^{10-k}cos^{k}2eta.x^{10-2k}$

Esse termo independente aparece quando $x^{10-2k} = x^{0}$

Logo, k = 5.

Temos então:

$T_{6} = inom{10}{5}left(x.sen2eta ight )^{5}. left(cos^{5}2eta ight) = frac{63}{256}$

Adicionando o coeficiente binomial:

$inom{10}{5} = C_{10,5} = frac{10.9.8.7.6}{5.4.3.2.1} = 252$

Dessa forma:

$252left(sen2eta .cos2eta ight )^{5} = frac{63}{256}$

Pela identidade do arco duplo $senleft(2a ight ) = 2senleft(a ight )cosleft(a ight )$

$left(frac{sen4eta}{2} ight )^{5} = frac{63}{256.252}$

$sen4eta = sqrt[5]{frac{63.2^{5}}{256.252}}$

$sen4eta = sqrt[5]{frac{1}{32}}$

$sen4eta = frac{1}{2}$

Se $sen4eta = frac{1}{2} ightarrow 4eta = frac{pi}{6}$

$eta = frac{pi}{24}$