Questão 1

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 1ª fase)

Assinale a alternativa verdadeira:

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente, devemos encontrar alguma relação para $sqrt{x+1} - sqrt{x}$ que nos dê alguma igualdadade.

Temos que $left( sqrt{x+1} - sqrt{x} ight) left(sqrt{x+1} + sqrt{x} ight ) = 1$

Logo, $left( sqrt{x+1} - sqrt{x} ight) = frac{1}{left(sqrt{x+1} + sqrt{x} ight )}$

Podemos manipular também $2sqrt{2016}^{-1}$

$frac{1}{2sqrt{2016}} = frac{1}{sqrt{2016}+sqrt{2016}}$

Sabemos que:

$sqrt{2017}> sqrt{2016} > sqrt{2015}$

Então:

$frac{1}{sqrt{2016} + sqrt{2015}} > frac{1}{sqrt{2016}+ sqrt{2016}} > frac{1}{sqrt{2017} + sqrt{2016}}$

$sqrt{2016} - sqrt{2015} > 2sqrt{2016}^{-1} > sqrt{2017} - sqrt{2016}$

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