Questão 3

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 2ª fase)

Resolva o sistema de equações, onde $xepsilon mathbb{R}$ e $yepsilon mathbb{R}$

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente temos que:

x > 1 e y > 1 para que os logs existam.

Temos que:

$left(ysqrt[3]{x} ight )^{2} = 3^{143}$

$ysqrt[3]{x} = 3^{frac{143}{2}}$

$x = frac{3^{frac{429}{2}}}{y^{3}}$

Vamos guardar esse valor.

$log _{3}left(log_{sqrt{3}} x ight ) - log_{sqrt{3}}left(log_{3}y ight ) = 1$

$log_{3} left(frac{logx^{2}}{log3} ight ) - frac{logleft(log_{3}y ight )^{2}}{log3} = 1$

$frac{logleft(frac{logx^{2}}{log3} ight )}{log3} - frac{logleft(log_{3}y ight )^{2}}{log3} = 1$

$logleft(frac{logx^{2}}{log3} ight ) - log(log_{3}y)^{2} = log3$

$logfrac{left(frac{logx^2}{log3} ight )}{left(log_{3}y ight)^{2}} = log3$

$frac{left(frac{logx^2}{log3} ight )}{left(log_{3}y ight )^{2}} = 3$

$left(frac{logx^2}{log3} ight ) = 3 left(log_{3}y ight )^{2}$

$logx^{2} = 3left(log3 ight )left(frac{logy}{log3} ight )^{2}$

$logx = frac{3}{2}left(log3 ight )left(frac{logy}{log3} ight )^{2}$

Pegando o valor de x encontrado anteriormente:

$x = frac{3^{frac{429}{2}}}{y^{3}}$

$frac{429}{2}log3 - 3logy= frac{3}{2}left(log3 ight )left(frac{logy}{log3} ight )^{2}$

Dividindo tudo por 3:

$frac{143}{2}log3 - logy= frac{1}{2}left(log3 ight )left(frac{logy}{log3} ight )^{2}$

Multiplicando tudo por 2:

$143log3 - 2logy = log3left(frac{logy}{log3} ight )^{2}$

$143log3 - 2logy = frac{left(logy ight )^{2}}{log3}$

Chegamos a uma equação do segundo grau com logy como variável.

Chamando logy de t:

$143log3 - 2t = frac{t^{2}}{log3}$

$t^{2} + 2t.log3 - 143left(log3 ight)^{2} = 0$

t = $11log3; - 13log3$

Se t = $11log3$

y = $3^{11}$

Se t = $-13log3$

$y = 3^{-13}$ Não serve, pois y > 1.

$x = frac{3^{frac{429}{2}}}{y^{3}}$

$x = frac{3^{frac{429}{2}}}{3^{33}}$

$x = 3^{frac{363}{2}}$

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