Questão 2

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 2ª fase)

Resolva a inequação, onde $xepsilon mathbb{R}$ .

$frac{9x^{2}}{(1-sqrt{3x+1})^{2}}>4$

Gabarito:

Resolução:

Observe que o numerador é o quadrado do 3x dentro da raiz no denominador.

Chamando $sqrt{3x+1}$ de t, temos que:

$x > -frac{1}{3}$

$x eq 0$

$3x + 1 = t^{2}$

$3x = t^{2} - 1$

Voltando na inequação:

$frac{9x^{2}}{left(1- sqrt{3x+1} ight)^{2}} > 4$

$frac{left(3x ight )^{2}}{left(1- sqrt{3x+1} ight)^{2}} > 4$

$frac{left(t^{2} -1 ight )^{2}}{left( 1- t ight)^{2}} > 4$

$left(frac{left(t-1 ight )left(t+1 ight )}{t-1} ight)^{2} > 4$

Com isso, temos que:

$t+1 > 2 ightarrow t > 1$

$t+1 < -2 ightarrow t <-3$

Não pode, pois será uma raiz negativa.

$t > 1 ightarrow sqrt{3x + 1}> 1$

$3x + 1 > 1$

$3x > 0$

$x > 0$

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