Questão 7

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 1ª fase)

Seja a equação

O produto das raízes reais desta equação é igual a:

A

B

C

D

2

E

3

Gabarito:

Resolução:

$y^{log_{3}sqrt{3y}} = y^{log_{3}3y} -6$

$y^{frac{1}{2}log_{3}3y} = y^{log_{3}3y} -6$

$left(y^{log_{3}3y} ight )^{frac{1}{2}} = y^{log_{3}3y} -6$

Chamando $left(y^{log_{3}3y} ight )$ de $x^{2}$ , temos que:

$x = x^{2} - 6$

$x^{2} - x - 6 = 0$

$x = frac{1+-sqrt{25}}{2}$

$x = 3;-2$

X = -2

$y^{log_{3}3y} = 4$ Sem solução.

X = 3

$y^{log_{3}3y} = 9$

$log_{3}left(y^{log_{3}}3y ight ) = 2$

$left(log_{3}y ight)left(log_{3}3y ight ) = 2$

$left(log_{3}y ight)left(1+log_{3}y ight ) = 2$

$left(log_{3}y ight )^{2}+log_{3}y - 2 = 0$

$log_{3}y = -2;1$

y = 3 ou y = $frac{1}{9}$

o produto dos dois y é $frac{1}{3}$

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