Questão 5

IME 2016

Matemática

(IME - 2016/2017 - 1ª fase)

Calcule o valor de , sabendo-se que .

Gabarito:

Resolução:

1) Repare que $(sen^2(x)+cos^2(x))^2=sin ^4left(x ight)+2sin ^2left(x ight)cos ^2left(x ight)+cos ^4left(x ight)=1$

1.1) Ordenando:

$sin ^4left(x ight)+cos ^4left(x ight)+2(sin left(x ight)cos left(x ight))^2=1$

$sin ^4left(x ight)+cos ^4left(x ight)=1-2(sin left(x ight)cos left(x ight))^2$

$sin ^4left(x ight)+cos ^4left(x ight)=1-frac{2}{25}=frac{23}{25}$

2) Repare que $sin ^6left(x ight)+cos ^6left(x ight)=(sin^2(x)+cos^2(x))(sin^4(x)-sin^2(x)cos^2(x)+cos^4(x))$

2.1) Ordenando:

$sin ^6left(x ight)+cos ^6left(x ight)=frac{23}{25}-sin^2(x)cos^2(x)=frac{23}{25}-frac{1}{25}=frac{22}{25}$

3) Logo, é igual a $LARGE frac{frac{23}{25}}{frac{22}{25}} = frac{23}{22}$

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