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Questão 7

IME 2016
Física

[IME-2016/2017 - 2ª fase]

A figura acima mostra um recipiente com paredes transparentes de espessuras desprezíveis. Esse recipiente contém um gás ideal hipotético e é fechado por um êmbolo opaco. Inicialmente, um corpo encontra-se apoiado sobre o êmbolo, em sua extremidade, mantendo todo o sistema em equilíbrio. Uma microcâmera, posicionada no ponto O (interior do recipiente) e direcionada para o ponto A, consegue filmar o ponto B no corpo.

O corpo é, então, lançado com velocidade horizontal v e sem atrito. Após o lançamento do corpo, o gás se expande até que o êmbolo atinja o equilíbrio novamente em um intervalo de tempo desprezível. A temperatura permanece constante durante todo o fenômeno. Determine em quanto tempo, após o lançamento, o corpo voltará a ser filmado pela microcâmera.

Observação:

• o êmbolo tem altura suficiente para permanecer vedando o recipiente durante toda a expansão do gás;

• considere que o gás obedeça à lei de Gladstone-Dale, que diz que a relação entre seu índice de refração n e sua densidade ρ é constante e dada pela expressão:   frac{n-1}{p}=cte

 

Dados:

• Altura inicial do ponto B: 90 cm;

• Altura do ponto A: 30 cm ;

• Base do recipiente: Quadrado de lado 40 cm ;

• Massa do corpo = Massa do êmbolo ;

• Velocidade v: 1,5 m/s ;

• Índice de refração do vácuo: 1,0 ; e

• Aceleração da gravidade: 10 m/s2 .

Gabarito:

Resolução:

Para que a câmera consiga filmar o ponto B, pela lei de snell:

n_{0} sen (a) = n_{vacuo} sen (90^{circ})

n_{0} = frac{1}{sen(a)}

Do triângulo retângulo formado com a hipotenusa sendo a direção do raio vermelho podemos notar quesen(a) = frac{3}{5}( triângulo pitagórico 3, 4, 5).

Assim, n_{0} = frac{5}{3}

Após o lançamento do bloco, o gás expande e a densidade diminui.

Pela lei geral dos gases:

PV = nRT.

A pressão agora deve ser tal que equilibrará metade do Peso que equilibrava antes. Portanto, a pressão cai à metade.

Com isso, o volume deve aumentar para o dobro.

Já que a massa permanece constante, a densidade diminui à metade da densidade inicial.

Da lei de Gladstone-Dale, dada no enunciado:frac{n_{0} -1}{d_{0}} = frac{(n - 1)}{frac{d_{0}}{2}}

frac{2}{3} = 2 cdot (n - 1)

n = frac{4}{3}

Após o lançamento teremos o seguinte esquema:

Da lei de snell:

n cdot sen (a) = n_{vacuo} cdot sen(b)

(frac{4}{3}) cdot (frac{3}{5}) = 1 cdot sen(b)

Logo, sen(b) = 4/5, implicando que cos(b) = 3/5.

Dessa forma, tg(b) = 4/3.

Mas tg(b) = frac{0,6 - y}{x}

Sendo que x = vt, e y = gt²/2. Das relações de cinemática do lançamento horizontal.

frac{4}{3} = frac{0,6 - frac{10t^{2}}{2}}{1,5t}

frac{6t}{3} = 0,6 -5t^{2}

5t^{2} +2t - 0,6 =0

t = frac{-2 pmsqrt{(2)^2-4*5*(-0,6)}}{2*5}

t = frac{-2 pm4}{10}

t = -0,6 s ou t = 0,2s.

t = -0,6 s não convém.

Logo, a resposta é t = 0,2.

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