Questão 3

IME 2016

Física

[IME 2016/2017 - 1ª fase] Uma partícula A, de carga positiva +Q, está presa a um veículo em movimento, cujas coordenadas de sua posição XA e YA, em metros, estão descritas abaixo em função do tempo t, em segundos.

$X_{A}(t) = 3sqrt{2}t+2sqrt{2}$

$Y_{A}(t) = t^{2}+t-11$

A força elétrica provocada pela interação entre a partícula A e uma partícula B, de mesma carga, fixada no ponto de coordenadas (XB, YB) = (0, 1), será ortogonal à trajetória do veículo quando o instante t > 0 for igual a:

1/2

3/4

5/8

1/8

Gabarito:

Resolução:

O enunciado nos pede em qual instante de tempo a força elétrica será perpendicular à trajetória do sistema, para isso sabemos que se a força é perpendicular ao deslocamento sua velocidade também será. Com isso vamos encontrar a velocidade dessa particula:

Sabendo que a velocidade é a derivada da posição:

$X_{A}(t) = 3sqrt{2}t+2sqrt{2}Rightarrow frac{dX_{A}(t)}{dt}=3sqrt{2}=vx$

$Y_{A}(t) = t^{2}+t-11Rightarrow frac{dY_{A}(t)}{dt}=2t+1=vy$

Devemos notar que a distância relativa entre as duas particulas será:

$\D=(xa-xb),(ya-yb)Rightarrow D=(3sqrt{2}t+2sqrt{2}-0),( t^{2}+t-11-1)\ D=((3sqrt{2}t+2sqrt{2}),( t^{2}+t-12)$

Agora achamos as velocidades tanto no eixo x quanto no eixo y., para que tanto o vetor deslocamento tanto o vetor velocidade sejam perpendiculares entre si, o produto escalar entre eles deve ser 0, logo $dcdot v=0$ podemos escrever da seguinte maneira:

$\(3sqrt{2}t+2sqrt{2},t^{2}+t-12)cdot (3sqrt{2},2t+1)=0 \(3sqrt{2}t+2sqrt{2}).(3sqrt{2})+(t^{2}+t-12).(2t+1)=0$

$\18t+12+2t^3 +t^2+2t^2+t-24t-12=0\ 2t^3+3t^2-5t=0\ t(2t^2+3t-5)=0Rightarrow 2t^2+3t-5=0\$

fazendo bhaskara podemos encontrar que para t>0 t vale t=1

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