Questão 9

IME 2016

Física

[IME-2016/2017 - 2ª fase]

Uma partícula de carga +Q está presa a um espelho plano que se movimenta ortogonalmente ao plano xy. Em um instante t onde $0 < t < frac{1}{2}pi$ , a interseção do espelho com o plano xy encontra-se na reta de equação y = sen (t)x + cos²(t). Sabe-se que a coordenada y da partícula vale sempre 1 e que toda a região está sujeita a um campo magnético de coordenadas (0,0,B) Determine:

a) as coordenadas do vetor da força magnética sofrida pela partícula;

b) o cosseno do ângulo entre o vetor da força magnética e o plano do espelho;

c) as coordenadas do vetor da força magnética refletido no espelho.

Gabarito:

Resolução:

No instante t:

y = sen (t)x + cos²(t). Mas é dito que y = 1 sempre.

Sendo assim:

1 = sen(t)x+cos²(t).

O que implica em x = (1-cos²(t))/sen(t) que é válido pois no intervalo dado sen(t) nunca será nulo.

Pela identidade trigonométrica sen²t + cos²t = 1 podemos inferir que nesse caso teremos x = sen²(t)/sen(t) = sen(t).

O que implica que dx/dt = v = cos(t)

A força magnética é dada por $vec{F_M} = qvec{v}xvec{B}$ , em que o símbolo x representa o produto vetorial.

Para calcular esse produto vetorial usamos o seguinte:

$vec{v}xvec{B} = egin{vmatrix} widehat{i} & widehat{j} & widehat{k}\ cos(t)& 0 & 0\ 0& 0& B end{vmatrix}$

O que nos leva a observar que $vec{F_M} = -qcos(t)widehat{j}$ .

Uma outra representação para o vetor força magnética é $F_M = (0,-qBcos(t), 0)$ .

b) Para esse item vamos analisar o seguinte esquema:

Podemos inferir que tg(a) = (dy/dx) = sen(t).

Queremos encontrar cos(b). Podemos notar que b e a são ângulos complementares, logo cos(b) = sen(a).

Manipulando a identidade trigonométrica já citada podemos encontrar:

1 + 1/tg²(a) = 1/sen²(a).

O que implica que sen²(a) = tg²(a)/(1 + tg²(a)).

$sen(a) = frac{tg(a)}{sqrt{1+tg^2(a)}}$ .

Logo, $cos(b) = frac{sen(t)}{sqrt{1+sen^2(t)}}$ .

Para o item c vamos pensar no senguinte esquema:

Observe que foi feita a decomposição do vetor Fm nos eixos y' e x'

Tal que Fm_y' = -qBcos(t)sen(b) e Fm_x_' = -qBcos(t)cos(b).

Após fazermos a reflexão, apenas o vetor na direção y' é refletido.

Assim, para o vetor refletido valem as relações:

Fm'_y' = +qBcos(t)sen(b) e Fm'_x_' = -qBcos(t)cos(b).

Agora vamos pensar em como voltar para os eixos y e x:

O nosso vetor que queremos voltar aos eixos x e y e posiciona no esquema acima da seguinte forma:

Podemos então inferir que Fm'_y = |Fm'_y'|cos(a) - |Fm'_x'|cos(b) e Fm'_x = -|Fm'_x'|cos(a) - |Fm'_y'|cos(b).

Para a direção y:

Fm'_y = |Fm'_y'|cos(a) - |Fm'_x'|cos(b) = qBcos(t)sen(b)cos(a) - qBcos(t)cos(b)cos(b).

Mas como $sen(b) = cos(a) = frac{1}{sqrt{1 + sen^2(t)}}$

Fm'_y = qBcos(t)(sen²(b) -cos²(b))

$Fm_y = qBcos(t)[frac{1}{1+sen^2(t)} - frac{sen^2(t)}{1+sen^2(t)}] = qBcos(t)[frac{1-sen^2(t)}{1+sen^2(t)}]$

E para a direção x:

$Fm_{x} = -qBcos(t) cos(b)cos(a) - qBcos(t)sen(b)cos(b)$

Lembrando que cos(a) = sen(b):

$Fm_{x} = -qBcos(t)[cos(b)sen(b)+sen(b)cos(b)]$

$Fm_{x} = - qBcos(t)[2sen(b)cos(b)]$

$Fm_{x} = -qBcos(t)[frac{2sen(t)}{1+sen^{2}(t)}] = frac{-qBsen(2t)}{1+sen^{2}t}$

Em outra forma o vetor refletido é o seguinte: $Fm = (frac{-qBsen(2t)}{1+sen^{2}t}), qBcos(t)[frac{1-sen^{2}t}{1+sen^{2}t}], 0$

Questão 9

IME 2016

Questões relacionadas

Questão 1

Questão 2

Questão 1426

Questão 1427