Questão 2

IME 2016

Física

[IME-2016/2017 - 2ª fase]

Uma partícula de massa m e com carga elétrica q entra em um campo magnético B movimentando-se no plano da figura de forma a atingir frontalmente (direção x) um corpo de massa M fixo a uma mola. O campo magnético é ortogonal ao plano da figura e é desligado em um determinado instante durante o movimento da partícula. A partícula colide com o corpo num choque perfeitamente inelástico, de forma a comprimir a mola que estava inicialmente relaxada. Uma lente, representada na figura, é utilizada para amplificar a imagem da mola, permitindo observar na tela a mola em sua compressão máxima decorrente do choque supracitado.

Determine:

a) O intervalo de tempo durante o qual o campo magnético permaneceu ligado após a entrada da partícula no campo magnético;

b) A intensidade do campo magnético;

c) A velocidade v da partícula ao entrar no campo magnético, em função dos demais parâmetros;

d) A deformação máxima da mola; e

e) A distância C entre a mola e a lente, em função dos demais parâmetros.

Dados:

- tamanho da imagem na tela da mola em sua máxima compressão: i = 9 mm

- distância entre a lente e a tela: D = 100 mm

- distância focal: f = 10 mm

- massa da partícula: m = 1 g

- massa do corpo inicialmente fixo à mola: M = 9 g

- H = 10 m

- comprimento da mola relaxada: L = 11 mm

- carga da partícula: q = +5 C :e

- constante elástica da mola:k = 40 N/mm

Consideração:

- O plano da figura é ortogonal ao vetor aceleração da gravidade.

Gabarito:

Resolução:

Após algumas análises dos dados fornecidos pelo enunciado, fica mais fácil buscar determinar os itens na ordem e, d, c, b, a:

---Começamos pelo item E:

Se a imagem da mola comprimida fica sobre a tela, então a imagem é real, e a lente será convergente portanto com foco positivo.

Podemos escrever da Lei de Gauss:

$frac{1}{f} = frac{1}{p} + frac{1}{p}$ , em que f = 10mm, p = C, e p' = D = 100 mm.

$frac{1}{f} = frac{1}{C} + frac{1}{D}$

Isolando C obtemos:

$frac{Df}{D-f} = C$

Substituindos os valores e fazendo as contas:

$C = frac{100}{9} mm$ .

Letra E já respondida.

---Vamos para o item D:

Segundo o enunciado, a imagem da mola comprimida tem tamanho 9 mm.

Mas o módulo do aumento linear é dado por $|A| = frac{|p|}{|p|} = frac{100}{frac{100}{9}} = 9$ , implicando que o tamanho da mola comprimida deve ser de 1 mm.

Se a mola inicialmente tem 11 mm de comprimento, isso implica que ela foi comprimida em 10 mm.

Letra D já respondida.

---Agora vamos para o item C:

Quando a partícula entra nessa região com campo magnético ela sofre uma força magnética que será perpendicular à velocidade, logo não realiza trabalho.

Então, a velocidade da partícula antes da colisão tem valor também igual a v.

A colisão é inelástica, e pela conservação do momento linear temos:

mv = (m+M)V, em que V é a velocidade do bloco logo após a colisão.

Sendo assim, $V = frac{mv}{(m+M)}$ .

Da conservação da energia após a colisão já ter acontecido temos:

$frac{(m+M)V^2}{2} = frac{Kx^2}{2}$ , em que x é a deformação máxima sofrida pela mola calculada anteriormente.

Sendo assim, $frac{(mv)^2}{2(m+M)} = frac{Kx^2}{2}$ .

Podemos simplificar a expressão antes de substituir os valores de forma a isolar o termo v:

$v^2 = frac{(m+M)Kx^2}{m^2}$

Vamos substituir os valores da massa, da constante elástica da mola e da deformação, mas para isso devemos colocar esses dados no sistema internacional de medidades.

m = 10^-3 kg,

M = 9*10^-3 kg

K = 40*10³ N/m

$v^2 = frac{(10*10^{-3})40*10^3(10*10^{-3})^2}{(10^{-3})^2}$

$v^2 = 10*40*10^2 = 4*10^4$

$v = 200 m/s$ .

---Agora vamos para o item B:

A força magnética atua como centrípeta, então podemos escrever:

$Bqv = frac{mv^2}{H}$ , aqui usamos H como raio da trajetória pois ao final do movimento da partícula descrito no enunciado ela fica com direção x e isso só é possível se o raio do arco de circunferência descrito for igual ao segmento H.

$B= frac{mv}{Hq}$

$B= frac{10^{-3}*200}{10*5} = 4 mT$ .

--- Vamos para o item A:

Quando a partícula entra na região de atuação do campo magnético, a força magnética atua como centrípeta, implicando que a partícula começa a descrever um arco de circunferência, como já dito acima.

Para a sua velocidade final ficar com direção x, precisamos percorrer um quarto dessa circunferência cujo raio será igual ao comprimento H.

Ou seja, o campo magnético atua enquanto a partícula descreve um arco correspondente a um ângulo de 90º.

O comprimento deste arco é dado por $Delta S = frac{pi H}{2}$ , usando a relação que o comprimento do arco é dado por $C = heta*R$ , desde que o ângulo theta seja dado em radianos.

Como só atua força centrípeta a velocidade da partícula é constante. Logo, $Delta S = v*Delta t$

$5pi = 200t$

Logo, t = $frac{pi}{40} s$ .

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