Questão 1435
IME 2016
[IME 2016/2017 - 1ª fase]
Uma mancha de óleo em forma circular, de raio inicial r0, flutua em um lago profundo com água cujo índice de refração é n. Considere que a luz que atinge a mancha e a superfície da água seja difusa e que o raio da mancha cresça com a aceleração constante a. Partindo do repouso em t = 0, o volume de água abaixo da mancha que não recebe luz, após um intervalo de tempo t, é:
Gabarito:
Resolução:
Vamos considerar que a mancha de óleo no ínicio estava presente somente na superfície da água. A partir de t = 0 o óleo se espalha pela superfície da água através da diferença entre força gravitacional e forças repulsivas entre água e óleo (há diferença de momentos lineares diferentes de zero). O valor do raio da mancha de óleo inicial, para t = 0, é de r0. Em um certo tempo t', o raio da mancha é dado como uma função quadrática com relação ao tempo.
A figura a seguir ilustra a mancha na superfície da água e o caminho que a luz percorre na sua configuração limite de reflexão (luz difusa, implicando na existência de raios 'tangentes' à superfície da água). A região entre os raios limites de reflexão da luz é a região dita no enunciado que não recebe luz.
Vamos chamar de altura h a profundidade dada pela distância entre o vértice do cone acima e a superfície da água. Assim:
O volume de água que não recebe luz é o volume do cone da figura acima:
, como o ângulo limite pode ser dado por
e
(ar) e
(água), então,
.
Como foi exposto acima, r é uma função quadrática do tempo com valor inicial r0, então podemos escrever:
.
Daí,
.