Questão 1433
IME 2016
[IME 2016/2017 - 1ª fase]
A figura acima apresenta um arranjo de resistores composto por N módulos formados por resistores iguais a R. Esses módulos possuem os nós A, B e C, sendo que todos os nós A são conectados entre si por meio de condutores ideais, conforme apresentado na figura, o mesmo acontecendo com os nós B entre si. No primeiro módulo, existem duas baterias com ddp iguais a U. A relação numérica U2/R para que a potência total dissipada pelo arranjo seja igual a N watts é:
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Gabarito:
Resolução:
A primeira coisa a se fazer é desenhar os potenciais no primeiro módulo do desenho baseando-se nas fontes:
Perceba que se estabelecermos o ponto C como um nó Terra, o potencial do ponto A e o potencial do ponto B valerão U. Sendo assim, o resistor superior em todos os módulos estarão em curto circuito.
Então, o que precisamos analisar é o seguinte esquema:
Todos os módulos são iguais a esse de cima. Perceba que podemos interpretar isso como sendo o seguinte esquema:
Em que a parte de cima, possui 2N resistores em paralelo, e a parte inferior possui N resistores em paralelo.
Então, a parte de cima equivale a um único resistor de , enquanto a parte inferior equivale a um resistor equivalente de
Sendo assim, o resistor equivalente total do sistema é
A potência dissipada nesse resistor equivalente é dada por, e o enunciado pede que essa potência seja igual a N Watts.
Ou seja,