Questão 6

IME 2014

Química

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

O oxigênio 15, um isótopo radioativo, é utilizado na tomografia por emissão de pósitrons para avaliar a perfusão sanguínea e o consumo de oxigênio (Z = 8) em distintas regiões do cérebro. Sabendo que uma amostra com 7,5 g desse isótopo radioativo $(_8^{15}O)$ produz $1,0cdot10^{23}$ emissões de radiação por minuto, determine o tempo para que essa amostra passe a produzir $2,5cdot10^{22}$ emissões de por minuto.

Dado: use $ln2=0,7$ .

Gabarito:

Resolução:

A emissão de pósitrons obedece à cinética de primeira ordem, então:

$A = kcdot N$ (equação 1)

em que

A ≡ atividade radioativa; N ≡ quantidade de nuclídeos radioativos e k ≡ constante de decaimento.

Para a mostra de $^{15}_{8}O$ citada no enunciado, tem-se:

$N_{1} = frac{N_{A}cdot m}{MM}$

em que N_A ≡ constante de Avogadro; m ≡ massa e MM ≡ massa molar.

$N_{1} = frac{6,0cdot 10^{23};nuclideos}{1mol;O_{8}^{15}} cdot frac{1mol;O_{8}^{14}}{15g} cdot 7,5g;O_{8}^{15}$

$N_{1} = 3cdot 10^{23};nuclideos$

Substituindo N₁ na equação 1:

$A_{1} = kcdot N_{1}$

$k = frac{A_{1}}{N_{1}} = frac{1,10cdot 10^{23};frac{particulas}{minuto}}{3cdot 10^{23};particulas}$

$k_{1} = frac{1}{3}min^{-1}$

Pode-se calcular o tempo com a seguinte equação:

$A_{2} = A_{1}cdot e^{-kt}$

em que A₂ ≡ atividade radioativa final; A₁ ≡ atividade radioativa inicial; k ≡ constante de decaimento; t ≡ tempo.

$frac{A_{2}}{A_{1}} = e^{-kt}$

$ln(frac{A_{2}}{A_{1}}) = -kt$

$ln(frac{A_{1}}{A_{2}}) = kcdot t$

$ln(frac{1,0cdot 10^{23}}{2,5cdot 10^{22}}) = frac{1}{3}min^{-1}cdot t$

$ln4 = frac{1}{3}min^{-1}cdot t$

$ln2^{2} = frac{1}{3}min^{-1}cdot t$

$2cdot 0,7= frac{1}{3}min^{-1}cdot t$

$1,4= frac{1}{3}min^{-1}cdot t$

$t = 4,2;minutos$

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