Questão 5

IME 2014

Matemática

[IME - 2014/2015 - 1a fase]

Determine o produto dos valores máximo e mínimo de y que satisfazem às inequações dadas para algum valor de x.

$2x^2-12x+10leq 5yleq 10-2x$

-3,2

-1,6

1,6

3,2

Gabarito:

-3,2

Resolução:

$2x^2-12x+10leq 5yleq 10-2x$

1) Dividindo as inequações por 5:

$frac{2x^2-12x+10}{5}leq frac{5y}{5}leq frac{10-2x}{5}$

2) Simplificando:

$frac{2x^2}{5}-frac{12x}{5}+2leq y leq 2-frac{2x}{5}$

3) Analisando $frac{2x^2}{5}-frac{12x}{5}+2leq y$ :

4) Analisando $y leq 2-frac{2x}{5}$ :

5) Logo, y estará entre a reta e a parábola:

6) O valor máximo será um dos encontros da reta com a parábola (Em y=2)

7) O valor mínimo será o vértice da parábola (Em y=-1,6)

8) Logo, ymax * ymin = -3,2

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