Questão 2

IME 2014

Matemática

[IME - 2014/2015 - 1a fase]

Sejam x e y números reais não nulos tais que:

O valor de é :

Gabarito:

Resolução:

Vamos trabalhar com o sistema e deixá-lo mais agradável:

$egin{cases} log_x y^pi+log_y x^e=a\ frac{1}{log_y x^{pi^{-1}}}-frac{1}{log_x y^{e^{-1}}}=b end{cases}\\Rightarrow egin{cases} pilog_x y+elog_y x=a\ frac{1}{pi^{-1}log_y x}-frac{1}{e^{-1}log_x y}=b end{cases}\\Rightarrow egin{cases} pilog_x y+elog_y x=a\ pilog_x y-elog_y x=b end{cases}$

somando as duas expressões encontradas temos:

$2pilog_x y=a+b\\Rightarrow log_x y^{2pi}=a+b\\Rightarrow y^{2pi}=x^{a+b}$

agora subtraindo:

$2elog_y x=a-b\\Rightarrow log_y x^{2e}=a-b\\Rightarrow x^{2e}=y^{a-b}$

vamos agora ver a expressão do problema:

$frac{x^{a+b+2e}}{y^{a-b+2pi}}=frac{x^{2e}}{y^{a-b}}cdotfrac{x^{a+b}}{y^{2pi}}=1cdot 1=1$

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