Questão 4

IME 2014

Matemática

(IME - 2014/2015)

A soma dos termos de uma progressão aritmética é 244. O primeiro termo, a razão e o número de termos formam, nessa ordem, outra progressão aritmética de razão 1. Determine a razão da primeira progressão aritmética.

Gabarito:

Resolução:

$\a_n=a_1+(n-1)r\\S_n=frac{(a_1+a_n)n}{2}$

$\ herefore S_n=frac{(2a_1+(n-1)r)n}{2}$

$a_1,;r,;n;Rightarrow ; ext{PA de razão 1}$

$Rightarrow r-1,;r,;r+1;;;;\\ extrm{Portanto:}\\a_1=r-1\\n=r+1$

$\ herefore S_n=frac{(2a_1+(n-1)r)n}{2}\\\244=frac{[2(r-1)+(r+1-1)r](r+1)}{2}\\\$

$488={(2r-2+r^2)(r+1)}$

$488=r^3+3r^2-2$

Por pesquisa de raízes (-1) é raiz de r³ + 3r² - 2 = 0

r³ + 3r² - 2 = (r + 1)(r² + 2r - 2)

$488=(r+1)(r^2+2r-2)$

$488=2^3cdot 61$

$\2^3cdot 61=(r+1)(r^2+2r-2)\\ herefore r+1=2^3;;;;;;;e;;;;;;;;r^2+2r-2=61\\\{color{Red} r=7}$

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