Questão 3

IME 2014

Matemática

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

Descreva o lugar geométrico do número complexo z que atende à equação

𝑎𝑟𝑔(𝑧 − 𝑧1) − 𝑎𝑟𝑔(𝑧 − 𝑧2) − 𝑎𝑟𝑔(𝑧 − 𝑧3) = 𝑘π

em que z1 é real, z2 e z3 são complexos conjugados com parte imaginária não nula e k é um número inteiro.

Obs: arg(z) é o argumento do número complexo z.

Gabarito:

Resolução:

Considere:

$z = c + di$

$z_{2} = a + bi$

Temos que:

$arg(z-z_{1}) - arg(z - z_{2}) - arg(z-z_{3}) = arg (frac{z - z_{1}}{(z-z_{2})(z - overline{z_{2}})}) = pi cdot k$

k pertence aos inteiros, portanto $(frac{z - z_{1}}{(z-z_{2})(z - overline{z_{2}})})$ é um número real e igual ao seu conjugado.

$(frac{z - z_{1}}{(z-z_{2})(z - overline{z_{2}})}) = overline{ (frac{z - z_{1}}{(z-z_{2})(z - overline{z_{2}})})}$

$overline{ (frac{z - z_{1}}{(z-z_{2})(z - overline{z_{2}})})} = frac{overline{z} - z_{1}}{(overline{z} -overline{z_{2}})(overline{z} - z_{2})}$

Fazendo meio pelos extremos:

$(z-z_{1})(overline{z} - overline{z_{2}})(overline{z}-z_{2}) = (overline{z}-z_{1})(z-z_{2})(z-overline{z_{2}})$

$(z - z_{1})(overline{z^{2}} -(overline{z_{2}}+z_{2})cdot overline{z}z_{2}cdot overline{z_{2}}) = (overline{z}-z_{1})(z^{2}-(overline{z_{2}}+z_{2})cdot z+z_{2}cdot overline{z_{2}})$

$(z-z_{1}) (overline{z}^{2}-2aoverline{z} + (a^{2}+b^{2})) = (overline{z}-2az+(a^{2}+b^{2}))$

$zoverline{z}^{2} - 2azoverline{z} + z(a^{2} + b^{2}) -z_{1}overline{z}^{2}+2az_{1}overline{z} - z_{1} (a^{2}+b^{2})$

$overline{z}z^{2} -2azoverline{z} + overline{z}(a^{2}+b^{2}) - z_{1}z^{2} + 2az_{1}z - z_{1}(a^{2}+b^{2})$

Note que $z cdot overline{z} = |z|^{2}$ :

$overline{z} |z|^{2} + z(a^{2}+b^{2}) - z_{1}overline{z}^{2}+2az_{1}overline{z} = z|z|^{2}(a^{2}+b^{2}) - z_{1}z^{2}+2az_{1}z$

$|z|^{2}(overline{z}-z) + (z - overline{z}) (a^{2}+b^{2}) - z_{1}(overline{z}^{2}-z^{2}) + 2az_{1}(overline{z}-z) = 0$

$(overline{z}-z)(|z|^{2}-(a^{2}+b^{2})-z_{1}(overline{z}+z)+2az_{1})=0$

$-2ci(c^{2} +d^{2} - 2z_{1}c - (a^{2}+b^{2})+2az_{1}) = 0$

Temos duas opções viáveis:

2x = 0, assim nosso número é real;
$c^{2} + d^{2} - 2z_{1}c - (a^{2}+b^{2}) + 2az_{1} = 0$ , que na equação reduzida nos dá: $(c-z_{1})^{2} + d^{2} = (a-z_{1})^{2} +b^{2}$

Essa equação nos dá uma circunferência de centro em z₁que passaria pelo afixo de z₂, no entando temos esse ponto excluído do lugar geométrico pela definição de argumento complexo.

Questão 3

IME 2014

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