Questão 9

IME 2014

Matemática

[IME - 2014/2015 - 1a fase]

Dada a matriz A, a soma do módulo dos valores de que tornam o determinante da matriz A nulo é:

Gabarito: 7

Resolução:

1) Reduzindo a matriz a forma escalonada:

1.1) $mathrm{Trocar:filas:da:matriz:}:R_1:leftrightarrow :R_4$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ x^2&1&x-1&2\ 1&x+4&0&0\ 1&2x&0&0end{vmatrix}$

1.2) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_2:mathrm{:realizando}:R_2:leftarrow :R_2-xcdot :R_1$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&1+x&-1&2-xleft(x-2 ight)\ 1&x+4&0&0\ 1&2x&0&0end{vmatrix}$

1.3) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_3:mathrm{:realizando}:R_3:leftarrow :R_3-frac{1}{x}cdot :R_1$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&1+x&-1&2-xleft(x-2 ight)\ 0&frac{x^2+4x+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 1&2x&0&0end{vmatrix}$

1.4) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_4:mathrm{:realizando}:R_4:leftarrow :R_4-frac{1}{x}cdot :R_1$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&1+x&-1&2-xleft(x-2 ight)\ 0&frac{x^2+4x+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}end{vmatrix}$

1.5) $mathrm{Trocar:filas:da:matriz:}:R_2:leftrightarrow :R_4$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&frac{x^2+4x+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&1+x&-1&2-xleft(x-2 ight)end{vmatrix}$

1.6) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_3:mathrm{:realizando}:R_3:leftarrow :R_3-frac{x^2+4x+1}{2x^2+1}cdot :R_2$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&0&-frac{x-4}{2x^2+1}&frac{left(x-2 ight)left(-x+4 ight)}{2x^2+1}\ 0&1+x&-1&2-xleft(x-2 ight)end{vmatrix}$

1.7) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_4:mathrm{:realizando}:R_4:leftarrow :R_4-frac{xleft(1+x ight)}{2x^2+1}cdot :R_2$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&0&-frac{x-4}{2x^2+1}&frac{left(x-2 ight)left(-x+4 ight)}{2x^2+1}\ 0&0&frac{-2x^2+x}{2x^2+1}&frac{-2x^4+4x^3+4x^2+x}{2x^2+1}end{vmatrix}$

1.8) $mathrm{Trocar:filas:da:matriz:}:R_3:leftrightarrow :R_4$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&0&frac{-2x^2+x}{2x^2+1}&frac{-2x^4+4x^3+4x^2+x}{2x^2+1}\ 0&0&-frac{x-4}{2x^2+1}&frac{left(x-2 ight)left(-x+4 ight)}{2x^2+1}end{vmatrix}$

1.9) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_4:mathrm{:realizando}:R_4:leftarrow :R_4+frac{x-4}{-2x^2+x}cdot :R_3$

$egin{vmatrix}x&-1&1&x-2\ 0&frac{2x^2+1}{x}&-frac{1}{x}&-frac{x-2}{x}\ 0&0&frac{-2x^2+x}{2x^2+1}&frac{-2x^4+4x^3+4x^2+x}{2x^2+1}\ 0&0&0&frac{left(-x+4 ight)left(x-3 ight)}{-2x+1}end{vmatrix}$