Questão 10

IME 2014

Física

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

Quatro corpos rígidos e homogêneos (I, II, III e IV) de massa específica $mu _{0}$ , todos com espessura a (profundidade em relação à figura), encontram-se em equilíbrio estático, com dimensões de seção reta representadas na figura. Os corpos I, II e IV apresentam seção reta quadrada, sendo: o corpo I apoiado em um plano inclinado sem atrito e sustentado por um fio ideal; o corpo II apoiado no êmbolo menor de diâmetro 2a de uma prensa hidráulica que contém um líquido ideal; e o corpo IV imerso em um tanque contendo dois líquidos de massa específica $mu _{1}$ e $mu _{2}$ . O corpo III apresenta seção reta em forma de H e encontra-se pivotado exatamente no ponto correspondente ao seu centro de gravidade. Um sistema de molas ideais, comprimido de x, atua sobre o corpo III. O sistema de molas é composto por três molas idênticas de constante elástica $K_{1}$ associadas a outra mola de constante elástica $K_{2}$ . No vértice superior direito do corpo III encontra-se uma força proveniente de um cabo ideal associado a um conjunto de polias ideais que sustentam o corpo imerso em dois líquidos imiscíveis. A parte inferior direita do corpo III se encontra imersa em um dos líquidos e a parte inferior esquerda está totalmente apoiada sobre o êmbolo maior de diâmetro 3a da prensa hidráulica. Determine o ângulo β do plano inclinado em função das variáveis enunciadas, assumindo a condição de equilíbrio estático na geometria apresentada e a aceleração da gravidade como g.

Gabarito:

Resolução:

Para facilitar a resolução, focaremos no corpo 3.

F₁: força relativa ao corpo 1;

F₂e F₄: forças relativas ao corpo 2 e 4, respectivamente.

E: empuxo;

K: força elástica;

No equilíbrio de rotação os momentos em torno do centro de massa do corpo em questão devem ser nulos. Da figura, podemos determinar quais serão os braços, relativos ao centro de massa, pra cada uma das forças. Assim, assumindo que as molas atuem exatamente no centro das faces onde estão fixadas:

$aF_{1} + 2aE + 2aK -4aF_{4} -2aF_2 = 0$

$F_{1} + 2E + 2K - 4F_{4} - 2F_{2} = 0 (I)$

Vamos resolver cada um dos subsistemas:

F₁:

$P_{1} = m_{1} g$

$F_{1} = m_{1}g sen eta$

Onde $eta$ representa o ângulo entre a força e a horizontal do referencial adotado.

Multiplicando a densidade pelo volume do corpo 1:

$m_{1} = mu _{0} cdot (2a cdot 2a cdot a)$

$oxed {m_{1} = 4mu _{0} cdot a^{3}}$

Então:

$F_{1} = 4mu _{0} cdot a^{3} cdot g cdot sen eta$

F₂:

Assumindo que as bases do corpo 2 e 3 estão na mesma altura, podemos utilizar a relação de prensas hidráulicas:

$frac{F_{esquerda}}{A_{esquerda}} = frac{F_{direita}}{A_{direita}}$

$frac{m_{2} g}{frac{(2a)^{2} cdot pi}{4}} = frac{F_{2}}{frac{(3a)^{2} pi}{4}}$

$F_{2} = frac{9}{4} cdot m_{2}g$

Podemos multiplicar a densidade pelo volume do corpo 2:

$m_{2} = mu _{0} cdot a^{3}$

Portanto:

$oxed {F_{2} = frac{9 cdot mu_{0} a^{3}g}{4}}$

A força de empuxo da parte submersa é igual a:

$E = mu _{1} V_{E} g$

$E = mu _{1} (2a cdot 2 a cdot a) g$

$oxed {E = 4 mu _{1} a^{3} g}$

A constante elástica do sistema de molas em conjuntos tem uma constante elástica tal que:

$k_{eq} = frac{k_{2} cdot ( 3cdot k_{1})}{k_{2} + 3k_{1}}$

Logo:

$K = frac{k_{2} 3k_{1}}{k_{2} + 3k_{1}} cdot x$

F₄:

A forças sobre o corpo 4 são seu peso, empuxo e uma tração T:

$m_{4} g - mu _{1} (2a^{3}) - mu _{2} (2a^{3}) g - T = 0$

A massa é dada por: $m_{4} = 4 mu _{0} a^{3}$ , então:

$T = (4 mu_{0} - 2 mu _{1} - 2 mu_{2}) ga^{3}$

A polia móvel atua como facilitadora de força, tal que $F_{4} = frac{T}{2}$ :

$F_{4} = frac{(4 mu _{0} - 2 mu _{1} -2 mu _{2}) ga^{3}}{2}$

$oxed {F_{4} = (2mu _{0} - mu _{1} - mu_{2}) ga^{3}}$

Retomando a equação I:

$F_{1} = 2F_{2} + 4F_{4} - 2K -2E$

$4 mu _{0} a^{3} g sen eta = 2 cdot frac{9 mu _{0} a^{3} g}{4} + 4 cdot (2 mu _{0} - mu _{1} - mu _{2}) ga^{3} - 2 cdot frac{k_{2} (3k_{1})}{k_{2} + 3k_{1}} cdot x - 2 cdot 4 mu _{1} a^{3} g$

$sen eta = frac{9}{8} + frac{(2 mu _{0} - mu _{1} - mu _{2})}{mu _{0}} - frac{3}{2} cdot frac{k_{1} k_{2} x}{(3k_{1} + k_{2})(mu _{0} a^{3} g)} - frac{2 mu _{1}}{mu _{0}}$

$sen eta = frac{9}{8} +2 - frac{(mu _{1} + mu _{2})}{mu _{0}} - frac{2 mu_{1}}{mu _{0}} - frac{3}{2} frac{k_{1} k_{2} x}{(3k_{1} + k_{2})(mu _{0} a^{3} g)}$

$sen eta = frac{25}{8} - ( frac{3 mu _{1} + mu _{2}}{mu _{0}}) - frac{3}{2} cdot frac{k_{1} k_{2} x}{(3 k_{1} + k_{2}) (mu _{0} a^{3} g)}$

$oxed {eta = arcsen [ frac{25}{8} - ( frac{3 mu _{1} + mu _{2}}{mu _{0}}) - frac{3}{2} cdot frac{k_{1} k_{2} x}{(3 k_{1} + k_{2}) (mu _{0} a^{3} g)}]}$

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