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Questão 3

IME 2014
Física

[IME- 2014/2015 - 2ª fase]

 

Um feixe de elétrons atravessa um capacitor carregado e furado em suas duas placas paralelas ao plano yz sendo acelerado durante a sua permanência no interior do capacitor, conforme as figuras. Logo após deixar o capacitor, o feixe penetra em uma região do espaço sujeita a um campo magnético uniforme, conforme indicado nas figuras. Sabendo que a coordenada x de qualquer elétron do feixe é não decrescente, determine:

 

a) o módulo da velocidade final dos elétrons;

b) as coordenadas do ponto onde o feixe deixa a região sujeita ao campo magnético;

c) a tensão E para que se obtenha  heta = 0

d) os valores alpha e eta tais que, para um valor muito alto de E, a coordenada x do ponto onde o feixe de elétrons deixa a região do campo magnético possa ser aproximada por Xsaída = alpha E^{eta}.

 

Dados:

- carga do elétron: -q

- massa do elétron: m;

- tensão aplicada ao capacitor: E;

- capacitância do capacitor: C;

- coordenadas do vetor campo magnético dentro da região ABCD: (0,0, +B) 

- comprimento dos segmentos AB e CD: L;

- comprimento dos segmentos BC e AD infinito;

- velocidade inicial do feixe de elétrons: v0

 

Observações:

- todas as respostas não devem ser expressas em função de heta;

- a trajetória do feixe antes de entrar no capacitor coincide com o semieixo x negativo;

- o campo elétrico no interior do capacitor é constante;

- não há campo gravitacional presente.

Gabarito:

Resolução:

a) A velocidade com que o feixe de elétrons incide no capacitor é v0 e será acelerado pelo campo elétrico do campacitr até uma velocidade v. Portanto, o trabalho realizado sobre o elétrons entre as armaduras será dado por:

au = qE = Delta E _{c}

Portanto:

qE = frac{m}{2} (v^{2} - v_{0}^{2}) Rightarrow v^{2} = frac{2qE}{m} + v_{0}^{2}

v = sqrt{frac{2qE}{m} + v_{0}^{2}}

b) A coordenada y na qual o elétron sai da região com influência do campo magnético é y = L. Em z não temos forças atuando, portanto z = 0.

A trajetória é circular, assim podemos determinar a coordenada x:

(R-L)^{2} + x^{2} = R^{2}

R^{2} -2R cdot L + L^{2} + x^{2} = R^{2}

x^{2} = L cdot (2R - L)

O raio R pode ser obtido tratando a força magnética como resultante centrípeta:

R = frac{mv}{qB}

Substituindo o valor de v:

R = frac{m}{qB} cdot sqrt{frac{2qE}{m} + v_{0}^{2}}

Substituindo (2) em (1)

x^{2} = frac{2mL}{qB} sqrt{frac{2qE}{m} + v_{0} ^{2}} - L^{2}

x = (frac{2L}{qB} sqrt{2qmE + m^{2} cdot v _{0} ^{2}} - L^{2}) ^{frac{1}{2}}

c) se  heta = 0, então x = y. Portanto, da letra B:

frac{2L sqrt{2qmE + m^{2} v_{0}^{2}}}{qB} - L^2 = L^{2}

frac{ sqrt{2qmE + m^{2} v_{0}^{2}}}{qB} = L

2qmE + m^{2} v_{0}^{2} = q^{2} B^{2} L^{2}

E = frac{q^{2} B^{2}L^{2} - m^{2} v_{0}^{2}}{2qm}

d) Supondo o campo E muito grande:

x approx (frac{2L sqrt{2qmE}}{qB}) ^{frac{1}{2}} = (sqrt{frac{8L^{2}mE}{qB^{2}}})^{frac{1}{2}}

Assim:

alpha = (frac{8L^{2} m}{qB^{2}}) ^{frac{1}{4}}

eta = frac{1}{4}

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