Questão 50801

IME 2013

Matemática

QUESTÃO ANULADA!!

[IME - 2013/2014 - 1a fase]

Seja a matriz $A = egin{bmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b end{bmatrix}$ , em que a, b e c são números reais positivos satisfazendo abc = 1. Sabe-se que A^TA = I, em que A^T é a matriz transposta de A e I é a matriz indentidade de 3ª ordem. O produto dos possiveis valores de a³+b³+c³ é

(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 10

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Resolução:

Seja a matriz $A = egin{bmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b end{bmatrix}$ , em que a, b e c sõa números reais positivos satisfazendo abc = 1. Sabe-se que A^TA = I, em que A^T é a matriz transposta de A e I é a matriz indentidade de 3ª ordem. O produto dos possiveis valores de a³+b³+c³ é

$AA^{T} = egin{bmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b end{bmatrix} egin{bmatrix} a & b & c \ b & c & a \ c & a & b end{bmatrix}=I$

$= egin{bmatrix} a^2+b^2+c^2 & ab+bc+ac & ab+bc+ac \ ab+bc+ac & a^2+b^2+c^2 & ab+bc+ac \ ab+bc+ac & ab+bc+ac & a^2+b^2+c^2 end{bmatrix}$

Logo:

$a^2+b^2+c^2=1$

$ab+bc+ac=0$

Além de que $abc=1$ , pelo enunciado.

• $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$

$(a+b+c)^2=1$

$a+b+c=pm1$

• $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc$

→ Se $a+b+c=1$ :

$(1)^3=a^3+b^3+c^3+3(1)(0)-3$

$a^3+b^3+c^3=4$

→ Se $a+b+c=-1$ :

$(-1)^3=a^3+b^3+c^3+3(-1)(0)-3$

$a^3+b^3+c^3=2$

Como duas das alternativas apresentam valores corretos, a questão foi ANULADA!

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